Formula di Grassmann: differenze tra le versioni

Versione delle 18:22, 9 lug 2011

Versione delle 11:59, 2 ott 2011

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In [[matematica]], la '''formula di Grassmann''' è una relazione che riguarda le [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensioni]] dei [[sottospazio vettoriale|sottospazi vettoriali]] di uno [[spazio vettoriale]] o dei [[sottospazio proiettivo|sottospazi proiettivi]] di uno [[spazio proiettivo]].

IlLa formula di Grassmann, il cui nome è stato scelto in onore del matematico tedesco [[Hermann Grassmann]], (1809-1877)afferna inoltre che i sottospazi di uno spazio vettoriale muniti delle operazioni binarie + e <math>\cap </math> costituiscono un [[reticolo modulare]].

== Definizione ==

Sia <math> V </math> uno [[spazio vettoriale]] su un [[Campo_(matematica)|campo]] <math>K </math> dotato di [[dimensione]] finita, cioè dotato di una [[base (algebra lineare)|base]] finita; siano <math> W </math> e <math> U </math> due sottospazi di <math> V </math>. Indichiamo con <math> W+U </math> il [[sottospazio vettoriale|sottospazio somma]] di <math>W</math> e <math>U</math>, dato da:

:<math> W + U := \{ \mathbf w+\mathbf u\ |\ \mathbf w \in W, \mathbf u \in U\} </math>

e con <math> W\cap U </math> il loro [[sottospazio vettoriale|sottospazio intersezione]].

La formula di Grassman afferma che:

<center><div style="float:center; width:420px; padding:8px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:center">

<math>\dim(W + U) = \dim(W) + \dim(U) - \dim(W \cap U)</math>

</div></center>

:<math>\dim(W + U) = \dim(W) + \dim(U) - \dim(W \cap U)</math>

== Esempi ==

=== Spazio tridimensionale ===

Questa formula si visualizza facilmente e significativamente nel caso in cui <math> V </math> sia lo [[spazio vettoriale]] tridimensionale sui reali <math>\R^3 </math>; le possibilità per i sottospazi portano alla seguente casistica:

* Uno dei due sottospazi <math> W </math> o <math>U</math> ha dimensione 0 o 3: in questo caso (a meno di scambiare i nomi dei due sottospazi) abbiamo <math> W + U = U </math> e <math> W\cap U = W </math> e la formula si riduce a una identità.

* <math> W </math> e <math>U</math> sono sottospazi di dimensione 1 (cioè rette passanti per l'origine):

** se le rette sono distinte <math> W\cap U</math> contiene solo il vettore nullo ed ha dimensione 0 e <math> W + U </math> è il piano contenente le due rette, per cui la formula si riduce a 1 + 1 = 2 + 0.

** se coincidono <math> W + U = W = U = W\cap U</math> e ancora si ha una identità.

*<math> W </math> è una retta per l'origine e <math> U </math> un piano per l'origine:

** se la retta non giace nel piano si ha: 1 + 2 = 3 + 0;

** se la retta giace nel piano: 1 + 2 = 2 + 1.

*<math> W </math> e <math>U</math> sono piani per l'origine:

** se non coincidono la loro intersezione è una retta e si ha: 2 + 2 = 3 + 1;

** se coincidono si ha un'identita` che numericamente afferma: 2 + 2 = 2 + 2.

=== Somma diretta ===

{{vedi anche|somma diretta}}

Due sottospazi <math> U </math> e <math> W </math> sono in '''somma diretta''' se <math> U\cap W =\{0\}</math>. In questo caso la formula di Grassmann asserisce che :

==== Definizione ====

Due sottospazi <math> U </math> e <math> W </math> sono in '''somma diretta''' se <math> U\cap W =\{0\}</math>. In questo caso la formula di Grassmann asserisce che

:<math> \dim(U + W) = \dim(U) + \dim(W). </math>

Se inoltre <math> V = U + W </math>, si dice che <math> V </math> si '''decompone in somma diretta''' di <math> U </math> e <math> W </math> e si scrive:

:<math> V = U \oplus W.</math>

In questo caso il sottospazio <math>W </math> è un '''supplementare''' di <math> U </math> (e viceversa).

In questo caso il sottospazio <math>W </math> è un '''supplementare''' di <math> U </math> (e viceversa).

==== Esempi ====

LoAd esempio, lo spazio <math> M(n) </math> delle [[matrice quadrata|matrici quadrate]] <math> n\times n </math> a coefficienti in un campo <math>K </math> si decompone nei sottospazi delle [[matrice simmetrica|matrici simmetriche]] e delle [[matrice antisimmetrica|antisimmetriche]]:

:<math> M(n) = S(n) \oplus A(n).</math>

La formula di Grassmann porta alla uguaglianza concernente le dimensioni dei due sottospazi della forma:

:<math> n^2 = \frac{n(n+1)}2 + \frac {n(n-1)}2. </math>

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:<math> B \cup B_U \cup B_W </math>

che viene mostrata nel modo seguente: sia

:<math> B = \{\mathbf v_1,\ldots, \mathbf v_d\},\quad B_U = \{\mathbf u_1,\ldots,\mathbf u_s\},\quad B_W =\{\mathbf w_1,\ldots,\mathbf w_t\}. </math>

Supponiamo l'esistenza di una [[combinazione lineare]] nulla

:<math> \lambda_1v_1lambda_1 \mathbf v_1+\ldots \lambda_dv_dlambda_d \mathbf v_d+ \mu_1u_1mu_1 \mathbf u_1+\ldots+\mu_su_smu_s \mathbf u_s+\gamma_1w_1gamma_1 \mathbf w_1+\ldots+\gamma_tw_tgamma_t \mathbf w_t = 0. \,\!</math>

In altre parole, raggruppando

:<math> \mathbf v = \lambda_1v_1lambda_1 \mathbf v_1+\ldots \lambda_dv_dlambda_d \mathbf v_d, \quad \mathbf u = \mu_1u_1mu_1 \mathbf u_1+\ldots+\mu_su_smu_s \mathbf u_s, \quad \mathbf w = \gamma_1w_1gamma_1 \mathbf w_1+\ldots+\gamma_tw_tgamma_t \mathbf w_t </math>

si ottiene

:<math> \mathbf v + \mathbf u + \mathbf w = 0. \,\!</math>

Da questo segue che <math> \mathbf w = -\mathbf v-\mathbf u </math>, e poiché sia <math> \mathbf v </math> che <math> \mathbf u </math> appartengono a <math> U </math>, ne segue che anche <math> \mathbf w </math> appartiene a <math> U </math>. Quindi <math> \mathbf w </math> appartiene all'intersezione <math> U\cap W </math>, e si scrive come combinazione lineare di elementi di <math> B </math>. D'altra parte, come elemento di <math> W </math>, è descritto come combinazione lineare di elementi di <math> B_W </math>: poiché ogni elemento ha un'unica descrizione come combinazione lineare di elementi di una base, ne segue che entrambe queste combinazioni hanno tutti i coefficienti nulli. Quindi

:<math> \gamma_1=\ldots=\gamma_t= 0, \quad \mathbf w=0. </math>

Si ottiene quindi <math> \mathbf v+\mathbf u=0 </math>. Poiché i vettori

:<math> B\cup B_U </math>

sono una base di <math> U </math>, sono quindi indipendenti, e ne segue che anche

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==Dimostrazione alternativa==

ConsideriamoSi consideri la funzione :

:<math>f \;\colon\; U \times W \to U + W \;\colon\; (u,w) \mapsto \mathbf u + \mathbf w </math>

che si verifica essere un'[[applicazione lineare]], inoltre banalmente <math>\mathrm{im}(f) = U + W </math> e <math>\ker(f) = \{(v,-v) : v \in U \cap W\} </math>, quest'ultimo è uno spazio vettoriale isomorfo a <math>U \cap W</math> (l'isomorfismo è dato da <math>\phi\, \colon\, \ker(f) \to U \cap W \,\colon\, (v,-v) \mapsto v</math>), quindi

che si verifica essere un'[[applicazione lineare]]. Si ha:

:<math>\mathrm{im}(f) = U + W \qquad \ker(f) = \{(\mathbf v,-\mathbf v) : \mathbf v \in U \cap W\} </math>

Il nucleo è uno spazio vettoriale isomorfo a <math>U \cap W</math>, e l'isomorfismo è dato da:

:<math>\phi\, \colon\, \ker(f) \to U \cap W \,\colon\, (\mathbf v,-\mathbf v) \mapsto \mathbf v</math>

Si ha quindi:

:<math>\dim(U + W) + \dim(U \cap W) = \dim(\mathrm{im}(f)) + \dim(\ker(f)) </math>

::<math>= \dim(U \times W) = \dim(U) + \dim(W)</math>

dove si è applicato il [[Teorema della dimensione|teorema del rango più nullità]].

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che è la formula di Grassmann.

==Proprietà Esempi ==

Questa formula si visualizza facilmente e significativamente nel caso in cui <math> V </math> sia lo [[spazio vettoriale]] tridimensionale sui reali <math>\R^3 </math>; le possibilità per i sottospazi portano alla seguente casistica:

* La formula di Grassmann dice che i sottospazi di uno spazio vettoriale muniti delle operazioni binarie + e <math>\cap </math> costituiscono un [[reticolo modulare]].

* Uno dei due sottospazi <math> W </math> o <math>U</math> ha dimensione 0 o 3: in questo caso (a meno di scambiare i nomi dei due sottospazi) abbiamo <math> W + U = U </math> e <math> W\cap U = W </math> e la formula si riduce a una identità.

* <math> W </math> e <math>U</math> sono sottospazi di dimensione 1 (cioè rette passanti per l'origine):

** se le rette sono distinte <math> W\cap U</math> contiene solo il vettore nullo ed ha dimensione 0 e <math> W + U </math> è il piano contenente le due rette, per cui la formula si riduce a 1 + 1 = 2 + 0.

** se coincidono <math> W + U = W = U = W\cap U</math> e ancora si ha una identità.

*<math> W </math> è una retta per l'origine e <math> U </math> un piano per l'origine:

** se la retta non giace nel piano si ha: 1 + 2 = 3 + 0;

** se la retta giace nel piano: 1 + 2 = 2 + 1.

*<math> W </math> e <math>U</math> sono piani per l'origine:

** se non coincidono la loro intersezione è una retta e si ha: 2 + 2 = 3 + 1;

** se coincidono si ha un'identita` che numericamente afferma: 2 + 2 = 2 + 2.

==Voci correlate==