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*creare [[Anello semilocale]]? ([[:en:Semi-local ring]])
In [[matematica]], un '''modulo libero''' è un [[modulo (algebra)|modulo]] che <span style="background:#ffffaa; color:#444444">si comporta in maniera "simile" ad uno [[spazio vettoriale]]</span>; più precisamente, se ''A'' è un [[anello (algebra)|anello]], un ''A''-modulo è ''libero'' se è la [[somma diretta]] di più copie di ''A'', o equivalentemente se ha una [[base (algebra lineare)|base]], cioè se esiste un insieme di elementi [[indipendenza lineare|linearmente indipendenti]] che genera il modulo.
Nel linguaggio della [[teoria delle categorie]], i moduli liberi sono gli <span style="background:#ffffaa; color:#444444">[[oggetto libero|oggetti liberi]]</span><sup>[esiste?]</sup> della categoria degli ''A''-moduli.
Sia ''A'' un [[anello (algebra)|anello]] e ''M'' un [[modulo (algebra)|modulo]] su ''A''. ''M'' è libero se esiste un insieme ''E'' di elementi di ''M'' tali che:
*''E'' genera ''M'': ogni elemento di ''M'' può essere scritto come combinazione lineare (finita) di elementi di ''E'', ovvero per ogni ''m'' in ''M'' esistono <math>a_1,\ldots,a_n\in A</math> ed <math>e_1,\ldots,e_n\in E</math> tali che <math>m=a_1e_1+\cdots+a_ne_n</math>;
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Se ''M'' è libero, non ha un'unica base; in generale, neppure la [[cardinalità]] della base è univocamente determinata. <span style="background:#ffffaa; color:#444444">Questa quantità è invariante però per tutti gli anelli commutativi e per tutti gli [[anello noetheriano|anelli noetheriani]];</span><sup>[citazione]</sup> in particolare si ottiene che la [[Dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] degli spazi vettoriali è ben definita.
Tutti i moduli sono <span style="background:#ffffaa; color:#444444">[[modulo quoziente|quozienti]]</span><sup>[link?]</span> di moduli liberi: dato infatti un insieme di generatori ''E'' per ''M'', si può formare il modulo <math>L=\bigoplus_{e\in E} eR</math> (che è libero) e considerare il sottomodulo ''N'' generato dalle relazioni tra elementi di ''M'' (ad esempio, se ''e''+''f''=0, allora ''e''+''f'' sarà contenuto in ''N''). Il quoziente ''L''/''N'' risulta isomorfo ad ''M''.
Tutti i moduli liberi sono [[modulo proiettivo|proiettivi]] e [[modulo piatto|piatti]]; unito al risultato precedente, questo dimostra che ogni modulo ha una <span style="background:#ffffaa; color:#444444">[[risoluzione proiettiva]]</span><sup>[traduzione?]</sup>. Inoltre il [[prodotto tensoriale]] di due moduli liberi è ancora libero.
In [[algebra]], un '''modulo piatto''' è un [[modulo (algebra)|modulo]] che "si comporta bene" rispetto al [[prodotto tensoriale]]; più precisamente, dato un [[anello (algebra)|anello]] [[anello commutativo|commutativo]] [[anello unitario|unitario]] ''A'', un modulo ''M'' è piatto se per ogni [[successione esatta]] corta di ''A''-moduli
:<math>0\longrightarrow N'\longrightarrow N\longrightarrow N''\longrightarrow 0</math>
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Ogni [[localizzazione di un anello|localizzazione]] <math>S^{-1}A</math> di ''A'' è un ''A''-modulo piatto; di conseguenza, ogni localizzazione di un modulo piatto è ancora un modulo piatto.
Ogni [[modulo libero]] e ogni [[modulo proiettivo]] sono piatti; <span style="background:#ffffaa; color:#444444">il viceversa non è vero in generale, sebbene le tre condizioni siano equivalenti per moduli finitamente generati su [[anello
= [[Lemma di Nakayama]] =
Il '''lemma di Nakayama''' è un [[teorema]] di grande importanza nello studio degli [[anello (algebra)|anello]] [[anello commutativo|commutativi]] [[anello unitario|unitari]]. Afferma che, se ''I'' è un [[ideale (matematica)|ideale]] di ''A'' contenuto nel suo [[radicale di Jacobson]], ed ''M'' è un ''A''-[[modulo (algebra)|modulo]] finitamente generato tale che ''IM'' = ''M'', allora ''M'' è il modulo nullo.
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