Utente:Dr Zimbu/Sandbox: differenze tra le versioni

Versione delle 19:24, 21 ott 2011

Versione delle 13:35, 1 nov 2011

Riga 21:

= [[Modulo libero]] =

In [[matematica]], un '''modulo libero''' è un [[modulo (algebra)|modulo]] <span style="background:#ffffaa; color:#444444">particolarmente simile ad uno [[spazio vettoriale]]</span>; più precisamente, se ''A'' è un [[anello (algebra)|anello]], un ''A''-modulo è ''libero'' se è la [[somma diretta]] di più copie di ''A'', o equivalentemente se ha una [[base (algebra lineare)|base]], ovvero un insieme di elementi [[indipendenza lineare|linearmente indipendenti]] che lo genera.

Nel linguaggio della [[teoria delle categorie]], i moduli liberi sono gli <span style="background:#ffffaa; color:#444444">[[oggetto libero|oggetti liberi]]</span>^[esiste?] della categoria degli ''A''-moduli.

== Definizione e basi ==

Riga 32:

Mentre ogni modulo possiede un insieme di generatori (ad esempio di può prendere ''E''=''M'' stesso), l'indipendenza lineare è una proprietà molto più stringente: esistono ad esempio moduli in cui nessun insieme non vuoto è linearmente indipendente, come lo <math>\mathbb{Z}</math>-modulo <math>\mathbb{Z}_n</math> delle [[aritmetica modulare|classi di resto]] modulo ''n''.

Se ''A'' è un [[campo (matematica)|campo]], gli ''A''-moduli sono gli [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]], e ognuno di essi ha una base: di conseguenza tutti gli ''A''-moduli sono liberi. Vale anche il viceversa: se tutti gli ''A''-moduli sono liberi, ed ''A'' è [[anello commutativo|commutativo]], allora ''A'' è un campo; <span style="background:#ffffaa; color:#444444">lasciando cadere l'ipotesi di commutatività, ''A'' deve essere un [[corpo (matematica)|corpo]].</span>^[controlla]

Nei moduli liberi, gli elementi della base si comportano come coordinate: segue infatti dall'indipendenza lineare che l'espressione di ogni elemento ''m'' come combinazione degli elementi della base è unica. Di conseguenza, un modulo libero è la [[somma diretta]] di copie di ''A''.

<span style="background:#ffffaa; color:#444444">Un particolare modulo libero è l'anello ''A'' stesso.</span>^{[anche senza unità?]}

Se ''M'' è libero, non ha un'unica base; in generale, neppure la [[cardinalità]] della base è univocamente determinata. <span style="background:#ffffaa; color:#444444">Questa quantità è invariante però per tutti gli anelli commutativi<ref name=planet>{{planethmath|title=RankOfAModule}}</ref> e per tutti gli [[anello noetheriano|anelli noetheriani]];</spanref><sup>[citazione]{{cita libro|autore=Paul Moritz Cohn|titolo=Introduction to ring theory|lingua=inglese|editore=Springer|anno=2000|id=ISBN 1-85233-206-9|pagine=pp.169-171}}</supref> in particolare si ottiene che la [[Dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] degli spazi vettoriali è ben definita. Essa viene detta ''rango'' del modulo libero. Anche nei casi in cui il rango non è ben definito, se ''M'' ha una base finita anche ogni altra base è finita.<ref name=planet/>

== Costruzione ==

Riga 45:

A partire da questo si può dimostrare che ogni modulo è quoziente di un modulo libero: dato infatti un insieme di generatori ''E'' per ''M'' (ad esempio ''E''=''M'' stesso), si può formare il modulo libero su ''E'', e considerare il sottomodulo ''N'' generato dalle relazioni tra elementi di ''M'' (ad esempio, se ''e''+''f''=0, allora ''e''+''f'' sarà contenuto in ''N''). Il quoziente ''L''/''N'' risulta isomorfo ad ''M''.

== Proprietà ==

== <span style="background:#ffffaa; color:#444444">Proprietà</span>^{[anche non comm?]} ==

[[Somma diretta|Somme]] e [[Prodotto diretto|prodotti]] di moduli liberi sono ancora liberi; lo stesso vale per il [[prodotto tensoriale]] di due moduli liberi.

Tutti i moduli liberi sono [[modulo proiettivo|proiettivi]] e [[modulo piatto|piatti]]; unito al fatto che ogni modulo è quoziente di un modulo libero, questo dimostra che ogni modulo ha una <span style="background:#ffffaa; color:#444444">[[risoluzione proiettiva]]</span>^{[traduzione?]}.

== Note ==

<references/>

== Bibliografia ==

*{{cita libro|autore=[[Michael Atiyah]] e [[Ian G. Macdonald]]|titolo=Introduction to Commutative Algebra|editore=Westview Press|anno=1969|id=ISBN 0-201-40751-5|lingua=inglese|cid=Atiyah}}

== Collegamenti esterni ==

*{{EncyMath|F/f041600}}

<nowiki>[[Categoria:Teoria dei moduli|Libero]]

[[ca:Mòdul lliure]]

[[de:Freier Modul]]

[[en:Free module]]

[[es:Módulo libre]]

[[fr:Module libre]]

[[he:מודול חופשי]]

[[nl:Vrije module]]

[[ru:Свободный модуль]]

[[sv:Fri modul]]

[[zh:自由模]]</nowiki>

= <span style="background:#ffffaa; color:#444444">[[Modulo piatto]]</span>^{[non comm?]} =

In [[algebra]], un '''modulo piatto''' è un [[modulo (algebra)|modulo]] che "si comporta bene" rispetto al [[prodotto tensoriale]]; più precisamente, dato un [[anello (algebra)|anello]] [[anello commutativo|commutativo]] [[anello unitario|unitario]] ''A'', un modulo sinistro ''M'' è piatto se per ogni [[successione esatta]] di ''A''-moduli

:<math>\cdots\longrightarrow N_{i-1}\longrightarrow N_i\longrightarrow N_{i+1}\longrightarrow \cdots</math>

la successione

:<math>\cdots\longrightarrow N_{i-1}\otimes M\longrightarrow N_i\otimes M\longrightarrow N_{i+1}\otimes M\longrightarrow \cdots</math>

(dove le mappe della seconda successione sono ottenute da quelle della prima tensorizzando con l'identiàidentità su ''M'') è ancora esatta; in altri terminianalogamente, seun ilmodulo [[funtoredestro (matematica)|funtore]] <math>''M\otimes'' -</math>è piatto se è [[funtoreesatta la esatto|esatto]].successione

:<math>\cdots M \otimes\longrightarrow N_{i-1} \longrightarrow M\otimes N_i\longrightarrow M\otimes N_{i+1}\longrightarrow \cdots</math>

In altri termini, un modulo sinistro è piatto se il [[funtore (matematica)|funtore]] <math>-\otimes M</math> è [[funtore esatto|esatto]], mentre un modulo destro è piatto se è esatto <math>M\otimes -</math>

== Definizioni equivalenti ==

Riga 66 ⟶ 91:

è una successione esatta, allora

:<math>N'\otimes M\longrightarrow N\otimes M\longrightarrow N''\otimes M\longrightarrow 0</math>

è sempre esatta; di conseguenza è sufficiente richiedere che, se <math>f:N'\longrightarrow N</math> è iniettiva, allora <math>f\otimes 1:N'\otimes M\longrightarrow N\otimes M</math> è ancora iniettiva. <span style="background:#ffffaa; color:#444444">Raffinando ulteriormente, ''M'' è piatto se e solo se questo avviene quando ''N<nowiki>'</nowiki>'' e ''N'' sono finitamente generati.</spanref><sup>[{{cita libro|Atiyah]|p.29|Atiyah, MacDonald}}</supref>

Equivalentemente, si possono definire i moduli piatti in termini del [[funtore Tor]]: un modulo sinistro ''M'' è piatto se e solo se <math>Tor^A_i(M,N,M)=0</math> per ogni ''i'' >0 e per ogni ''A''-modulo ''N''. Anche questa condizione può essere raffinata, richiedendo solo che <math>Tor^A_1(M,N,M)=0</math>.

Le stesse proprietà valgono simmetricamente per i moduli destri.

== Proprietà ==

Il [[prodotto tensoriale]] di due moduli piatti è ancora piatto; la [[somma diretta]] dei moduli ''M_i'' è piatta se e solo se lo è ogni ''M_i''.

Ogni [[localizzazione di un anello|localizzazione]] <math>S^{-1}A</math> di ''A'' (se ''S'' è contenuto nel [[centro (algebra)|centro]] di ''R'') è un ''A''-modulo piatto; di conseguenza, ognile localizzazionelocalizzazioni di un modulo piatto èsono ancora un modulo piattopiatte.

Ogni [[modulo libero]] e ogni [[modulo proiettivo]] sono piatti; il viceversa non è vero in generale, sebbene un modulo piatto [[finitamente presentato]] sia proiettivo.<ref>{{cita|Weibel|p.71}}</ref>

== Caso commutativo ==

Se ''A'' è un anello [[anello commutativo|commutativo]] [[dominio d'integrità|integro]], ogni ''A''-modulo piatto è privo di [[torsione]]; di conseguenza, ogni dominio che non è un [[campo (matematica)|campo]] possiede moduli che non sono piatti (ad esempio i [[anello quoziente|quozienti]] su [[ideale (matematica)|ideali]] non nulli).

Un anello tale che tutti i suoi ideali sono piatti è detto ''assolutamente piatto'': questi possono essere caratterizzati come quegli anelli tali che <math>I^2=I</math> per ogni [[ideale principale]] ''I''.<ref>{{cita|Clarke|p.69}}</ref> Un [[anello locale]] è assolutamente piatto se e solo se è un campo,<ref>{{cita|Clarke|p.117-118}}</ref> mentre un [[anello ridotto]] è assolutamente piatto se e solo se ha [[dimensione di Krull|dimensione]] 0.<ref>{{cita|Clarke|p.180}}</ref>

== Note ==

<references/>

== Bibliografia ==

Ogni [[modulo libero]] e ogni [[modulo proiettivo]] sono piatti; <span style="background:#ffffaa; color:#444444">il viceversa non è vero in generale, sebbene le tre condizioni siano equivalenti per moduli finitamente generati su [[anello locale|anelli locali]] [[anello noetheriano|noetheriani]].</span>^[citazione]

*{{cita libro|autore=[[Michael Atiyah]] e [[Ian G. Macdonald]]|titolo=Introduction to Commutative Algebra|editore=Westview Press|anno=1969|id=ISBN 0-201-40751-5|lingua=inglese|cid=Atiyah}}

*{{cita libro|autore=Charles A. Weibel|titolo=An introduction to homological algebra|editore=Cambridge University Press|id=ISBN 0-521-43500-5|lingua=inglese}}

*{{cita libro|autore=Pete L. Clark|titolo=Commutative Algebra|url=http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf|accesso=1 novembre 2011|cid=Clarke}}

== Collegamenti esterni ==

Se ''A'' è [[dominio d'integrità|integro]], ogni ''A''-modulo piatto è privo di [[torsione]]; di conseguenza, ogni dominio che non è un [[campo (matematica)|campo]] possiede moduli che non sono piatti (ad esempio i [[anello quoziente|quozienti]] su [[ideale (matematica)|ideali]] non nulli). Un anello tale che tutti i suoi ideali sono piatti è detto ''assolutamente piatto'': questi <span style="background:#ffffaa; color:#444444">devono avere [[dimensione di Krull|dimensione]] 0</span>^[controlla], e ogni elemento che non è [[elemento invertibile|invertibile]] è un [[divisore dello zero]]. <span style="background:#ffffaa; color:#444444">Condizioni equivalenti, dal Clarke</span>

*{{EncyMath|F/f040590}}

= [[Lemma di Nakayama]] =