Utente:Dr Zimbu/Sandbox: differenze tra le versioni

Versione delle 11:42, 4 nov 2011

Versione delle 11:40, 5 nov 2011

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In [[algebra]], un '''modulo piatto''' è un [[modulo (algebra)|modulo]] che "si comporta bene" rispetto al [[prodotto tensoriale]]; più precisamente, dato un [[anello (algebra)|anello]] ''A'', un modulo sinistro ''M'' è piatto se per ogni [[successione esatta]] di ''A''-moduli

:<math>\cdots\longrightarrow N_{i-1}\longrightarrow N_i\longrightarrow N_{i+1}\longrightarrow \cdots</math>

la successione <span style="background:#ffffaa; color:#444444">di [[gruppo abeliano|gruppi abeliani]]</span>^[perché?]

:<math>\cdots\longrightarrow N_{i-1}\otimes_Rotimes_A M\longrightarrow N_i\otimes_Rotimes_A M\longrightarrow N_{i+1}\otimes M\longrightarrow \cdots</math>

(dove le mappe della seconda successione sono ottenute da quelle della prima tensorizzando con l'identità su ''M'') è ancora esatta; analogamente, un modulo destro ''M'' è piatto se è esatta la successione di gruppi abeliani

:<math>\cdots \longrightarrow M \otimes\longrightarrowotimes_A N_{i-1} \longrightarrow M\otimesotimes_A N_i\longrightarrow M\otimesotimes_A N_{i+1}\longrightarrow \cdots</math>

In altri termini, un modulo sinistro è piatto se il [[funtore (matematica)|funtore]] <math>-\otimesotimes_A M</math> è [[funtore esatto|esatto]], mentre un modulo destro è piatto se è esatto <math>M\otimesotimes_A -</math>

== Definizioni equivalenti ==

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è una successione esatta, allora

:<math>N'\otimes M\longrightarrow N\otimes M\longrightarrow N''\otimes M\longrightarrow 0</math>

è sempre esatta; di conseguenza è sufficiente richiedere che, se <math>f:N'\longrightarrow N</math> è iniettiva, allora <math>f\otimes 1:N'\otimes M\longrightarrow N\otimes M</math> è ancora iniettiva. <span style="background:#ffffaa; color:#444444">Raffinando ulteriormente, ''M'' è piatto se e solo se questo avviene quando ''N<nowiki>'</nowiki>'' e ''N'' sono finitamente generati.<ref>{{cita libro|Atiyah, MacDonald|p.29|Atiyah}}</ref></span>^{[anche non comm?]}

Equivalentemente, si possono definire i moduli piatti in termini del [[funtore Tor]]: un modulo sinistro ''M'' è piatto se e solo se <math>Tor^A_i(N,M)=0</math> per ogni ''i'' >0 e per ogni ''A''-modulo ''N''. Anche questa condizione può essere raffinata, richiedendo solo che <math>Tor^A_1(N,M)=0</math>.

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Le stesse proprietà valgono simmetricamente per i moduli destri.

== Proprietà ==

== <span style="background:#ffffaa; color:#444444">Proprietà</span>^{[organizzare]} ==

Il [[prodotto tensoriale]] di due moduli piatti è ancora piatto; la [[somma diretta]] dei moduli ''M_i'' è piatta se e solo se lo è ogni ''M_i''.

OgniSe [[localizzazione''S'' diè un anello|localizzazione]] <math>S^{-1}A</math>sottoinsieme di ''A'' (semoltiplicativamente ''S''chiuso èe contenuto nel suo [[centro (matematica)|centro]], la [[localizzazione di un anello|localizzazione]] <math>S^{-1}A</math> di ''RA'') è un ''A''-modulo piatto; di conseguenza, le localizzazioni di un modulo piatto sono ancora piatte.

<span style="background:#ffffaa; color:#444444">Se ''x'' è un elemento nel centro di ''A'' e non è uno zerodivisore, allora ''A/xA'' è un esempio di modulo che non è piatto: questo può essere visto a partire dalla successione esatta

:<math>0\longrightarrow A\longrightarrow^x A\longrightarrow A/xA\longrightarrow 0</math>

Infattiperché, nella successione tensorizzata

:<math>0\longrightarrow A\otimes_A A/xA\longrightarrow A\otimes_A A/xA\longrightarrow A/xA\otimes_R A/xA\longrightarrow 0</math>

la mappa <math>A\otimes_A A/xA\longrightarrow A\otimes_A A/xA</math> diventa l'omomorfismo nullo, mentre <math>A\otimes_A A/xA</math> non è il modulo nullo. Ripetendo il ragionamento, ne segue che, se ''A'' è [[anello commutativo]] [[dominio d'integrità|integro]], allora tutti i moduli piatti sono privi di [[torsione]]; in particolare, gli anelli quoziente sono tutti non piatti.</span>^[brutto]

In particolare, se ''A'' è [[anello commutativo|commutativo]], tutte le localizzazioni <math>S^{-1}A</math> sono piatte; la piattezza è inoltre una ''proprietà locale'', nel senso che ''M'' è un modulo piatto se e solo la localizzazione ''M_P'' è piatto per ogni [[ideale primo]] ''P''. Se ''A'' è anche [[dominio d'integrità|integro]], nessun [[anello quoziente|quoziente]] ''A/I'' è piatto; ampliando il ragionamento precedente, su un dominio d'integrità tutti i moduli piatti sono privi di [[torsione]].

Ogni [[modulo libero]] e ogni [[modulo proiettivo]] sono piatti; il viceversa non è vero in generale, sebbene un modulo piatto [[finitamente presentato]] sia proiettivo.<ref>{{cita|Weibel|p.71}}</ref>

== Anelli assolutamente piatti ==

Un anello ''A'' tale che tutti gli ''A''-moduli sinistri sono piatti è detto ''assolutamente piatto'' (o ''von Neumann regolare''); se questo avviene, allora anche tutti gli ''A''-moduli destri sono piatti. UnEquivalentemente, ''A'' è assolutamente piatto se per ogni ''a'' esiste un ''x'' tale che ''axa'' = ''a''; un'altra condizione equivalente è che tutti gli [[ideale (matematica)|ideali]] principali di ''A'' sono idempotenti, cioè sono tali che <math>I^2=I</math>.<ref>{{EncyMath|r/r080830}}</ref>

Tra gli anelli commutativi, un [[anello locale]] è assolutamente piatto se e solo se è un campo,;<ref>{{cita|Clarke|p.117-118}}</ref> mentrein ungenerale, [[anellouna ridotto]]nello commutativo è assolutamente piatto se e solo se è [[anello ridotto|ridotto]] e ha [[dimensione di Krull|dimensione]] 0.<ref>{{cita|Clarke|p.180}}</ref> <span style="background:#ffffaa; color:#444444">Vale abs flat -> ridotto?</span>

Un esempio di anello assolutamente piatto è qualunque [[anello booleano]].

Tra gli anelli commutativi, un [[anello locale]] è assolutamente piatto se e solo se è un campo,<ref>{{cita|Clarke|p.117-118}}</ref> mentre un [[anello ridotto]] è assolutamente piatto se e solo se ha [[dimensione di Krull|dimensione]] 0.<ref>{{cita|Clarke|p.180}}</ref> <span style="background:#ffffaa; color:#444444">Vale abs flat -> ridotto?</span>

== Note ==