Processo di Poisson: differenze tra le versioni

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Un '''processo di Poisson''', dal nome del matematico francese [[Siméon-Denis Poisson]] (1781 - 1840), è un [[processo stocastico]] che simula il manifestarsi di eventi che siano [[indipendenza|indipendenti]] l'uno dall'altro e che accadano continuamente nel tempo. Il processo è definito da una collezzione di [[variabili aleatorie]] ''N''(''_t'') per ''t''>0, che vengono viste come il numero di eventi occorsi dal tempo ''0'' al tempo ''t''. Inoltre il numero di eventi tra il tempo ''a'' e il tempo ''b'' è dato come ''N''(''_b'') − ''N''(''_a'') ed ha una [[distribuzione di Poisson]]. Ogni traiettoria del processo (ovvero ogni possibile mappa da ''t'' a ''N(_t(ω)'', dove ω appartiene allo [[spazio di probabilità]] su cui è definita n) è una funzione a gradino sui [[numeri interi]]

{{S|teoria della probabilità|statistica}}

Un '''processo di Poisson''', dal nome del matematico francese [[Siméon-Denis Poisson]] (1781 - 1840), è un [[processo stocastico]] che simula il manifestarsi di eventi che siano [[indipendenza|indipendenti]] l'uno dall'altro e che accadano continuamente nel tempo. Il processo è definito da una collezzione di [[variabili aleatorie]] ''N''(''t'') per ''t''>0, che vengono viste come il numero di eventi occorsi dal tempo ''0'' al tempo ''t''. Inoltre il numero di eventi tra il tempo ''a'' e il tempo ''b'' è dato come ''N''(''b'') − ''N''(''a'') ed ha una [[distribuzione di Poisson]]. Ogni traiettoria del processo (ovvero ogni possibile mappa da ''t'' a ''N(t)'') è una funzione a gradino sui [[numeri interi]]

Il processo di Poisson è un processo a tempo continuo: la sua controparte a tempo discreto è il [[processo di Bernoulli]]. Il processo di Poisson è uno dei più famosi [[processo di Lévy|processi di Lévy]]. I processi di Poisson sono anche esempiun esempio di [[processocatene di Markov|catena di markovianoMarkov]] a tempo continuo.

== Definizione ==

== Tipi di processi di Poisson ==

Esistono tre definizioni equivalenti di processo di Poisson:

=== Processo di Poisson omogeneo ===

===Definizione infinitesimale===

[[File:Sampleprocess.png|thumb|266px|right|Esempio di traiettoria di un processo di Poisson]]

Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:

*''N₀=0

* Il numero di eventi contati in intervalli di tempo disgiunti sono indipendenti, ovvero le variabili aleatorie

:<math>(N_{t_k}-N_{t_{k-1}}), \dots (N_{t_1}-N_{t_0})\qquad\forall t_0 = 0\leq t_1 < \dots < t_k</math>

sono indipendenti.

* La probabilità di un evento in un piccolo intervallo di tempo è proporzionale alla lunghezza, ovvero, per <math>h\rightarrow 0</math>

:<math>\lambda_mathbb{a,bP}=\int_(N_{at+h}^{b}{-N_t=1)=\lambda h + o(th)dt}</math>

La costante di proporzionalità λ è detta '''intensità''' del processo.

* La probabilità che accada più di un evento in un piccolo intervallo di tempo è trascurabile, ovvero

:<math>\mathbb{P}(N_{t+h}-N_t>1)= o(h)</math>

===Costruzione attraverso i tempi di attesa===

Un processo di Poisson ''omogeneo'' è caratterizzato da un parametro di frequenza λ, detto '''intensità''', tale che il numero di eventi in un intervallo di tempo <math>(t,t+ \tau]</math> seguono una [[distribuzione di Poisson]] con il parametro associato <math>\lambda\tau</math>. Questa relazione è data come

Consideriamo degli eventi che si manifestano a distanze aleatorie ''S_k'' l'uno dall'altro, dove gli ''S_k'' sono [[distribuzione esponenziale|distribuzioni esponenziali]] di parametro λ, ognuna indipendente dalle altre.

:<math> P [(N(t+ \tau) - N(t)) = k] = \frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots,</math>

Allora il processo definito da

:<math>N_t=\sup{\{n:\sum_{k=1}^n{S_k}\leq t\}}</math>

è un processo di Poisson di intensità λ

===Definizione attraverso le probabilità di transizione===

dove ''N''(''t''&nbsp;+&nbsp;τ)&nbsp;−&nbsp;''N''(''t'') descrive il numero di eventi in un intervallo di tempo (''t'',&nbsp;''t''&nbsp;+&nbsp;τ].

Un processo di Poisson è un processo stocastico che soddisfa le seguenti proprietà:

Così come una variabile casuale di Poisson è caratterizzata dal suo parametro scalare λ, un processo di Poisson omogeneo è caratterizzato dal suo parametro di frequenza λ, che corrisponde con il [[valore atteso]] del numero di "eventi" che si manifestano per unità di tempo.

* ''N₀=0

* Gli incrementi sono stazionari (ovvero la distribuzione del numero di eventi che accadono in un certo intervallo dipende solo dalla lunghezza dell'intervallo) e hanno [[distribuzione di Poisson]] di parametro λt, ovvero:

:<math> \mathbb{P [(N}(N_{t+ \tau) h}- N(t)) N_t= k] )= \frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots,</math>

== Proprietà ==

<!--

''N''(''t'') è un processo di Poisson omogeneo, da non confondere con una densità o una funzione di distribuzione.

-->

Oltre a quelle elencate nelle definizioni, il processo di Poisson soddisfa altre proprietà:

'''Nel dettaglio:'''

* Il processo di Poisson soddisfa la [[proprietà di Markov]]

Avendo assunto che λ sia costante possiamo ritenere

* Il processo di Poisson soddisfa la [[proprietà di Markov forte]]

* Il tempo del n-esimo evento ha [[distribuzione Gamma]] <math>\Gamma\left(n,\frac{1}{\lambda}\right)</math>

<math> P [(N(t+ \tau) - N(t)) = k] = P[N(T) = k]</math>

* Sapendo che in un certo intervallo di tempo è accaduto un solo evento, si ha che la sua distribuzione è [[distribuzione uniforme|uniforme]].

* Se ''N_t'' e ''M_t'' sono due processi di Poisson indipendenti di intensità λ e μ, allora ''Z_t=N_t+M_t'' è un processo di Poisson di intensità λ+μ

con <math>T = (t,t+ \tau]</math>, in quanto tale probabilità non dipende più dagli istanti iniziale e finale ma solo dalla durata dell'intervallo.

Possiamo inoltre suddividere ''T'' in ''n'' intervallini di ampiezza ''δ'' tale che <math>T = n\delta</math> e sufficientemente piccoli tale che

<math>P [N(\delta) = 1] = p</math>

<math>P [N(\delta) = 0] = 1- p</math>

<math>P [N(\delta) > 1]</math> ≈ 0

Per ogni singolo intervallino abbiamo quindi una [[Variabile casuale bernoulliana|distribuzione di probabilità di Bernoulli]] il cui [[valore atteso|valore medio]] risulta ''p''. Il numero medio di eventi per un intervallo di durata ''T'' risulta quindi:

<math>\lambda T = np</math>

Assumiamo infine che il numero di eventi per ogni intervallino non dipenda da ciò che avviene negli altri intervalli.

Abbiamo in pratica modellato il processo contatore come un'[[variabile casuale binomiale|estrazione semplice]], per cui la probabilità che si verifichino ''k'' eventi in un intervallo ''T'' equivale alla probabilità che ''k'' intervallini su ''n'' contengano un evento e <math>(n-k)</math> non ne contengano affatto:

<math>P [N(T) = k] = {n \choose k} p^{k}(1-p)^{n-k}</math>

sostituendo quindi ''p'' con <math>\lambda T/n</math> e calcolando il limite per ''n'' → ∞, ovvero per ''δ''→ 0, attraverso alcuni passaggi che omettiamo per brevità si arriva alla formula finale:

<math> P [(N(T) = k] = \frac{e^{-\lambda T} (\lambda T)^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots,</math>

=== Processo di Poisson non omogeneo ===

In generale, può accadere che l'intensità del processo cambi nel tempo, ovvero ''λ=λ(t)''. In questo caso si parla di '''processo di Poisson non omogeneo'''.

Il numero di eventi in un intervallo [a,b] è una distribuzione di Poisson di parametro λ_a,b, dove

:<math>\lambda_{a,b}=\int_{a}^{b}{\lambda(t)dt}</math>

ovvero

:<math> P [(N(b) - N(a)) = k] = \frac{e^{-\lambda_{a,b}} (\lambda_{a,b})^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots.</math>

=== Processo di Poisson spaziale ===

== Voci correlate ==

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* [[Processo markoviano]]

* [[Processo stocastico]]

* [[Teoria delle code]]

== Bibliografia ==

*{{cita libro

|cognome = Norris

|nome = J.R.

|titolo= Markov Chains

|editore= Cambridge University Press

|anno= 1997 }}

{{Portale|matematica}}