Derivata parziale: differenze tra le versioni
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Dette <math>\{\mathbf e_i\}_{1 \le i \le n} </math> e <math>\{\mathbf u_i\}_{1 \le i \le m} </math> le [[base canonica|basi canoniche]] di <math> \mathbb R^n </math> e <math> \mathbb R^m </math> rispettivamente, la funzione può essere scritta nel seguente modo:
:<math>\mathbf{F}(\mathbf x ) = \sum_i^m F_i(\mathbf x ) \mathbf u_i \quad \mathbf x = (x_1,x_2, \dots , x_n) \in E</math>
La componente i-esima della funzione è allora:
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Si definisce derivata parziale di <math> F_i</math> rispetto alla variabile <math>x_j</math> il limite:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 216|rudin}}</ref>
:<math>\frac{\partial f_i (\mathbf {x})}{\partial x_j} = \lim_{t\to 0} \frac{F_i (\mathbf x + t\mathbf e_j) - F_i (\mathbf x)}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{F_i (x_1,x_2, \dots x_j + t, \dots, x_n) - F_i (\mathbf x_1,x_2, \dots , x_n)}{t}</math>
Tale limite è a volte chiamato limite del [[rapporto incrementale]] di <math>f</math> nel punto <math>\mathbf {x}</math>, e viene denotato anche con <math>D_jF_i</math>. La derivata parziale di una funzione, o nel caso di funzione vettoriale di una sua componente, si effettua quindi considerando le variabili diverse da quella rispetto a cui si vuole derivare come costanti e calcolandone il rapporto incrementale.
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