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*creare [[Glossario di teoria dei moduli]]?

*creare [[Anello semilocale]]? ([[:en:Semi-local ring]])

= [[Modulo iniettivo]] =

In [[matematica]], un '''modulo iniettivo''' è un [[modulo (algebra)|modulo]] con la proprietà di essere un addendo diretto di ogni modulo che lo contiene: ovvero ''Q'' è iniettivo se, per ogni modulo ''M'' che lo contiene, esiste un sottomodulo ''N'' di ''M'' tale che <math>M=N\oplus Q</math>.

Questo concetto è il duale di quello di [[modulo proiettivo]]; è stato introdotto da [[Reinold Baer]] nel 1940. Un esempio di modulo iniettivo è lo <math>\mathbb{Z}</math>-modulo <math>\mathbb{Q}</math> dei [[numero razionale|numeri razionali]].

== Definizioni equivalenti ==

Sia ''A'' un [[anello (algebra)|anello]] e ''Q'' un ''A''-[[modulo (algebra)|modulo]] sinistro. La definizione precedente (''Q'' è iniettivo se è addendo di ogni modulo che lo contiene) può essere espressa in termini di [[successione esatta|successioni esatte]]: ''Q'' è iniettivo se e solo se ogni successione esatta corta

:<math>0\longrightarrow Q\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow 0</math>

si spezza, ovvero se <math>M=Q\oplus g^{-1}(N)</math> (dove ''g'' è la mappa da ''M'' a ''N'').

È possibile caratterizzare i moduli iniettivi anche attraverso una proprietà di sollevamento: ''Q'' è un modulo iniettivo se e solo se per ogni omomorfismo iniettivo di ''A''-moduli sinistri ''f'' : ''X'' → ''Y'' e per ogni omomorfismo ''g'' : ''X'' → ''Q'' esiste un omomorfismo di moduli ''h'' : ''Y'' → ''Q'' tale che ''hf'' = ''g'', cioè tale da far [[diagramma commutativo|commutare]] il seguente diagramma:

:[[Immagine:diagrammadefinizionemoduloiniettivo.png|120px]]

Il ''criterio di Baer'' afferma inoltre che per verificare che ''Q'' sia iniettivo è sufficiente considerate il caso in cui ''Y'' = ''A'' è l'anello e ''X'' un suo [[ideale (matematica)|ideale]].

Altre definizioni equivalenti sfruttano maggiormente la [[teoria delle categorie]]: ''Q'' è iniettivo se e solo se il [[funtore]] <math>Hom_A(-,Q)</math> è [[funtore esatto|esatto]]; usando il [[funtore Ext]], ''Q'' è iniettivo se <math>Ext^1_A(M,Q)=0</math> per ogni ''A''-modulo ''M''.

{{Portale|matematica}}

<nowiki>[[Categoria:Teoria dei moduli|Iniettivo]]

[[en:Injective module]]

[[es:Módulo inyectivo]]

[[fr:Module injectif]]

[[he:מודול אינג'קטיבי]]

[[ru:Инъективный модуль]]

[[zh:內射模]]</nowiki>

= [[Modulo proiettivo]] =

In [[matematica]], un '''modulo proiettivo''' è un [[modulo (algebra)|modulo]] con la proprietà di essere un addendo diretto di un [[modulo libero]]: ovvero ''P'' è proiettivo se esiste un modulo libero ''F'' e un suo sottomodulo ''N'' tale che <math>F=P\oplus N</math>

Questo concetto è il duale di quello di [[modulo iniettivo]]; è stato introdotto da [[Henri Cartan]] e [[Samuel Eilenberg]] nel 1956.

== Definizioni equivalenti ==

Sia ''A'' un [[anello (algebra)|anello]] e ''P'' un ''A''-[[modulo (algebra)|modulo]] sinistro. La definizione precedente (''P'' è proiettivo se è addendo di un modulo libero) può essere generalizzata: ''P'' è proiettivo se è un addendo di ogni modulo che si proietta su di esso; in termini di [[successione esatta|successioni esatte]]: ''P'' è proiettivo se e solo se ogni successione esatta corta

:<math>0\longrightarrow N\longrightarrow M\longrightarrow P\longrightarrow 0</math>

si spezza, ovvero se <math>M=N\oplus g^{-1}(P)</math> (dove ''g'' è la mappa da ''M'' a ''P'').

È possibile caratterizzare i moduli proiettivi anche attraverso una proprietà di sollevamento: ''P'' è un modulo proiettivo se e solo se per ogni omomorfismo suriettivo di ''A''-moduli sinistri ''f'' : ''N'' → ''M'' e per ogni omomorfismo ''g'' : ''P'' → ''M'' esiste un omomorfismo di moduli ''h'' : ''P'' → ''N'' tale che ''hf'' = ''g'', cioè tale da far [[diagramma commutativo|commutare]] il seguente diagramma:

:[[Immagine:Projective module.png|120px]]

Altre definizioni equivalenti sfruttano maggiormente la [[teoria delle categorie]]: ''P'' è proiettivo se e solo se il [[funtore]] <math>Hom_A(P,-)</math> è [[funtore esatto|esatto]]; usando il [[funtore Ext]], ''P'' è proiettivo se <math>Ext^1_A(P,M)=0</math> per ogni ''A''-modulo ''M''.

{{Portale|matematica}}

<nowiki>[[Categoria:Teoria dei moduli|Proiettivo]]

[[en:Projective module]]</nowiki>