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Altre definizioni equivalenti sfruttano maggiormente la [[teoria delle categorie]]: ''Q'' è iniettivo se e solo se il [[funtore]] <math>Hom_A(-,Q)</math> è [[funtore esatto|esatto]]; usando il [[funtore Ext]], ''Q'' è iniettivo se <math>Ext^1_A(M,Q)=0</math> per ogni ''A''-modulo ''M''.
== Esempi e proprietà ==
== Risoluzioni iniettive ==
Una '''risoluzione iniettiva''' di un modulo ''M'' è una [[successione esatta]]
:<math>0\longrightarrow M\longrightarrow Q_0\longrightarrow Q_1\longrightarrow\cdots\longrightarrow Q_n\longrightarrow\cdots</math>
dove i ''Q<sub>i</sub>'' sono moduli iniettivi; poiché ogni modulo è contenuto in un modulo iniettivo, ogni ''M'' ha una risoluzione iniettiva. Se ''Q<sub>k</sub>'' è il modulo nullo per ''k'' > ''n'' in poi, la risoluzione è detta ''finita''; il minimo ''n'' per cui questo avviene - ovvero il minimo ''n'' per cui esiste una risoluzione finita
:<math>0\longrightarrow M\longrightarrow Q_0\longrightarrow Q_1\longrightarrow\cdots\longrightarrow Q_n\longrightarrow 0</math>
è detto '''dimensione iniettiva''' di ''M''; se ''M'' non ha una risoluzione finita, la sua dimensione iniettiva è infinito. L'[[estremo superiore]] delle dimensioni iniettive degli ''A''-moduli è detto [[dimensione globale]] (o ''omologica'') di ''A''.
{{Portale|matematica}}
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Altre definizioni equivalenti sfruttano maggiormente la [[teoria delle categorie]]: ''P'' è proiettivo se e solo se il [[funtore]] <math>Hom_A(P,-)</math> è [[funtore esatto|esatto]]; usando il [[funtore Ext]], ''P'' è proiettivo se <math>Ext^1_A(P,M)=0</math> per ogni ''A''-modulo ''M''.
== Esempi e proprietà ==
Tutti i [[modulo libero|moduli liberi]] sono proiettivi; il viceversa non è in generale vero, sebbene valga per i [[dominio ad ideali principali|domini ad ideali principali]], per gli [[anello locale|anelli locali]] e per gli [[anello di polinomi|anelli di polinomi]] in più variabili su un [[campo (matematica)|campo]]. Esempi di moduli proiettivi ma non liberi sono gli [[ideale (matematica)|ideali]] non principali di un [[dominio di Dedekind]], o gli ideali nella forma ''eA'', dove ''e'' è un [[elemento idempotente|idempotente]] di ''A'': ad esempio, se <math>A=A_1\times A_2</math>, allora <math>A_1\times 0</math> e <math>0\times A_2</math> sono ''A''-moduli proiettivi (in quanto <math>A=A_1\oplus A_2</math>) ma non liberi.
Su un [[campo (matematica)|campo]] o su un [[corpo (matematica)|corpo]], tutti i moduli sono proiettivi; in generale, se tutti gli ''A''-moduli sono proiettivi, l'anello è detto [[anello semisemplice|semisemplice]]. Questo avviene, inoltre, se e solo se tutti gli ''A''-moduli sono [[modulo iniettivo|iniettivi]], e se e solo se la sua [[dimensione globale]] è 0.
Una [[somma diretta]] <math>P=\bigoplus P_i</math> di moduli è proiettiva se e solo se lo è ogni addendo; il [[prodotto tensoriale]] di due moduli proiettivi è ancora proiettivo.
Un ideale di ''A'' è un ''A''-modulo proiettivo se e solo se è [[ideale invertibile|invertibile]].
Tutti i moduli proiettivi sono [[modulo piatto|piatti]]; anche in questo caso, il viceversa non è vero. Tuttavia, tutti i moduli piatti [[finitamente presentato|finitamente presentati]] sono proiettivi.<ref>{{cita|Weibel|p.71}}</ref>
== Risoluzioni proiettive ==
Una '''risoluzione proiettiva''' di un modulo ''M'' è una [[successione esatta]]
:<math>\cdots\longrightarrow P_n\longrightarrow\cdots\longrightarrow P_1\longrightarrow P_0\longrightarrow M\longrightarrow 0</math>
in cui ogni ''P<sub>i</sub>'' è proiettivo; poiché ogni modulo è il quoziente di un modulo libero, ogni modulo ha una risoluzione proiettiva. Se ''P<sub>k</sub>'' è il modulo nullo per ogni ''k'' maggiore di un ''n'', la risoluzione è detta ''finita''; il minimo ''n'' per cui esiste una risoluzione finita
:<math>0\longrightarrow P_n\longrightarrow\cdots\longrightarrow P_1\longrightarrow P_0\longrightarrow M\longrightarrow 0</math>
è detto '''dimensione proiettiva''' di ''M''; se ''M'' non ha alcuna risoluzione finita, la sua dimensione proiettiva è infinito. L'[[estremo superiore]] della dimensioni proiettive degli ''A''-moduli è detta [[dimensione globale]] (o ''omologica'') di ''A''.
== Note ==
<references/>
== Bibliografia ==
*{{cita libro|autore=Charles A. Weibel|titolo=An introduction to homological algebra|editore=Cambridge University Press|id=ISBN 0-521-43500-5|lingua=inglese}}
{{Portale|matematica}}
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