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;Da creare
*[[Radicale di Jacobson]] ([[:en:Jacobson radical]])
*[[Modulo proiettivo]] ([[:en:Projective module]])
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*[[Localizzazione di un anello]]
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*[[Modulo iniettivo]] ([[:en:Injective module]])
;Possibilità
*ampliare [[Anello locale]]? ([[:en:Local ring]])
*aggiungere una sezione sui noeth. loc. in [[Dimensione di Krull]]?
*creare [[Glossario di teoria dei moduli]]?
*creare [[Anello semilocale]]? ([[:en:Semi-local ring]])
= [[Modulo iniettivo]] + redirect [[Risoluzione iniettiva]], [[Dimensione iniettiva]]=
In [[matematica]], un '''modulo iniettivo''' è un [[modulo (algebra)|modulo]] con la proprietà di essere un addendo diretto di ogni modulo che lo contiene: ovvero ''Q'' è iniettivo se, per ogni modulo ''M'' che lo contiene, esiste un sottomodulo ''N'' di ''M'' tale che ''M'' è la [[somma diretta]] di ''N'' e ''Q''.
Questo concetto è il duale di quello di [[modulo proiettivo]]; è stato introdotto da [[Reinold Baer]] nel 1940. Un esempio di modulo iniettivo è lo <math>\mathbb{Z}</math>-modulo <math>\mathbb{Q}</math> dei [[numero razionale|numeri razionali]].
== Definizioni equivalenti ==
Sia ''A'' un [[anello (algebra)|anello]] e ''Q'' un ''A''-[[modulo (algebra)|modulo]] sinistro (definizioni totalmente analoghe possono essere date per moduli destri). La definizione precedente (''Q'' è iniettivo se è addendo di ogni modulo che lo contiene) può essere espressa in termini di [[successione esatta|successioni esatte]]: ''Q'' è iniettivo se e solo se ogni successione esatta corta
:<math>0\longrightarrow Q\longrightarrow M\longrightarrow N\longrightarrow 0</math>
si spezza, ovvero se <math>M=Q\oplus g^{-1}(N)</math> (dove ''g'' è la mappa da ''M'' a ''N'').
È possibile caratterizzare i moduli iniettivi anche attraverso una proprietà di sollevamento: ''Q'' è un modulo iniettivo se e solo se per ogni omomorfismo iniettivo di ''A''-moduli sinistri ''f'' : ''X'' → ''Y'' e per ogni omomorfismo ''g'' : ''X'' → ''Q'' esiste un omomorfismo di moduli ''h'' : ''Y'' → ''Q'' tale che ''hf'' = ''g'', cioè tale da far [[diagramma commutativo|commutare]] il seguente diagramma:
:[[Immagine:diagrammadefinizionemoduloiniettivo.png|120px]]
Il ''criterio di Baer'' afferma inoltre che è sufficiente che questa proprietà valga per ''Y'' = ''A'' e per ogni [[ideale (matematica)|ideale]] ''X''.
Altre definizioni equivalenti sfruttano maggiormente la [[teoria delle categorie]]: ''Q'' è iniettivo se e solo se il [[funtore]] <math>Hom_A(-,Q)</math> è [[funtore esatto|esatto]]; usando il [[funtore Ext]], ''Q'' è iniettivo se <math>Ext^1_A(M,Q)=0</math> per ogni ''A''-modulo ''M''.
== Esempi ==
Un [[gruppo abeliano]] ''G'' (cioè uno <math>\mathbb{Z}</math>-modulo) è iniettivo se e solo se è [[gruppo divisibile|divisibile]], cioè se per ogni <math>g\in G</math> e per ogni <math>n\in\mathbb{Z}</math> esiste un <math>h\in G</math> tale che ''nh'' = ''g''; lo stesso vale per ogni [[dominio ad ideali principali]].
Se ''A'' è un [[dominio d'integrità]], il suo [[campo dei quozienti]] ''K'' è un ''A''-modulo iniettivo; se inoltre ''A'' è un [[dominio di Dedekind]], anche ''K''/''A'' è un modulo iniettivo.
Se ''K'' è un [[campo (matematica)|campo]], tutti i ''K''-moduli (ovvero tutti i ''K''-[[spazio vettoriale|spazi vettoriali]]) sono iniettivi. Se tutti gli ''A''-moduli sono iniettivi, ''A'' è detto [[anello semisemplice|semisemplice]]; questo avviene se e solo se tutti gli ''A''-moduli sono [[modulo proiettivo|proiettivi]], e se e solo se la [[dimensione globale]] di ''A'' è 0.
== Proprietà ==
Il [[prodotto diretto]] <math>Q=\prod Q_i</math> è un modulo iniettivo se e solo se lo è ogni ''Q<sub>i</sub>''; tuttavia, né i sottomoduli né i moduli quoziente di un modulo iniettivo sono necessariamente iniettivi.
Ogni ''A''-modulo ''M'' può essere immerso in un ''A''-modulo iniettivo; esiste inoltre un modulo iniettivo ''Q'' (detto ''inviluppo iniettivo'' di ''M'') che è "il più piccolo modulo iniettivo" che contiene ''M'', nel senso che ogni sottomodulo di ''Q'' interseca ''M'' in modo non banale. L'inviluppo iniettivo di ''M'' è unico a meno di [[isomorfismo|isomorfismi]].
== Risoluzioni iniettive ==
Una '''risoluzione iniettiva''' di un modulo ''M'' è una [[successione esatta]]
:<math>0\longrightarrow M\longrightarrow Q_0\longrightarrow Q_1\longrightarrow\cdots\longrightarrow Q_n\longrightarrow\cdots</math>
dove i ''Q<sub>i</sub>'' sono moduli iniettivi; poiché ogni modulo è contenuto in un modulo iniettivo, ogni ''M'' ha una risoluzione iniettiva. Se ''Q<sub>k</sub>'' è il modulo nullo per ''k'' > ''n'', la risoluzione è detta ''finita''; il minimo ''n'' per cui questo avviene - ovvero il minimo ''n'' per cui esiste una risoluzione finita
:<math>0\longrightarrow M\longrightarrow Q_0\longrightarrow Q_1\longrightarrow\cdots\longrightarrow Q_n\longrightarrow 0</math>
è detto '''dimensione iniettiva''' di ''M''; se ''M'' non ha una risoluzione finita, la sua dimensione è infinita. L'[[estremo superiore]] delle dimensioni iniettive degli ''A''-moduli è detto [[dimensione globale]] (o ''omologica'') di ''A''.
{{Portale|matematica}}
== Bibliografia ==
*{{cita libro|autore=Charles A. Weibel|titolo=An introduction to homological algebra|editore=Cambridge University Press|id=ISBN 0-521-43500-5|lingua=inglese}}
== Collegamenti esterni ==
*{{EncyMath|I/i051210|Injective module}}
<nowiki>[[Categoria:Algebra omologica]]
[[Categoria:Teoria dei moduli|Iniettivo]]
[[en:Injective module]]
[[es:Módulo inyectivo]]
[[fr:Module injectif]]
[[he:מודול אינג'קטיבי]]
[[ru:Инъективный модуль]]
[[zh:內射模]]</nowiki>
= [[Modulo proiettivo]] + redirect [[Risoluzione proiettiva]], [[Dimensione proiettiva]]=
In [[matematica]], un '''modulo proiettivo''' è un [[modulo (algebra)|modulo]] con la proprietà di essere addendo diretto di un [[modulo libero]]: ovvero ''P'' è proiettivo se esiste un modulo libero ''F'' e un suo sottomodulo ''N'' tale che ''F'' è la [[somma diretta]] di ''P'' ed ''N''.
Questo concetto è il duale di quello di [[modulo iniettivo]]; è stato introdotto da [[Henri Cartan]] e [[Samuel Eilenberg]] nel 1956.
== Definizioni equivalenti ==
Sia ''A'' un [[anello (algebra)|anello]] e ''P'' un ''A''-[[modulo (algebra)|modulo]] sinistro (definizioni totalmente analoghe possono essere date per moduli destri). La definizione precedente (''P'' è proiettivo se è addendo di un modulo libero) può essere generalizzata: ''P'' è proiettivo se è un addendo di ogni modulo che si proietta su di esso; in termini di [[successione esatta|successioni esatte]]: ''P'' è proiettivo se e solo se ogni successione esatta corta
:<math>0\longrightarrow N\longrightarrow M\longrightarrow P\longrightarrow 0</math>
si spezza, ovvero se <math>M=N\oplus g^{-1}(P)</math> (dove ''g'' è la mappa da ''M'' a ''P'').
È possibile caratterizzare i moduli proiettivi anche attraverso una proprietà di sollevamento: ''P'' è un modulo proiettivo se e solo se per ogni omomorfismo suriettivo di ''A''-moduli sinistri ''f'' : ''N'' → ''M'' e per ogni omomorfismo ''g'' : ''P'' → ''M'' esiste un omomorfismo di moduli ''h'' : ''P'' → ''N'' tale che ''hf'' = ''g'', cioè tale da far [[diagramma commutativo|commutare]] il seguente diagramma:
:[[Immagine:Projective module.png|140px]]
Altre definizioni equivalenti sfruttano maggiormente la [[teoria delle categorie]]: ''P'' è proiettivo se e solo se il [[funtore]] <math>Hom_A(P,-)</math> è [[funtore esatto|esatto]]; usando il [[funtore Ext]], ''P'' è proiettivo se <math>Ext^1_A(P,M)=0</math> per ogni ''A''-modulo ''M''.
== Esempi e proprietà ==
Tutti i [[modulo libero|moduli liberi]] sono proiettivi; il viceversa non è in generale vero, sebbene valga per i [[dominio ad ideali principali|domini ad ideali principali]], per gli [[anello locale|anelli locali]] e per gli [[anello di polinomi|anelli di polinomi]] in più variabili su un [[campo (matematica)|campo]]. Esempi di moduli proiettivi ma non liberi sono gli [[ideale (matematica)|ideali]] non principali di un [[dominio di Dedekind]], o gli ideali nella forma ''eA'', dove ''e'' è un [[elemento idempotente|idempotente]] di ''A'': ad esempio, se <math>A=A_1\times A_2</math>, allora <math>A_1\times 0</math> e <math>0\times A_2</math> sono ''A''-moduli proiettivi (in quanto <math>A=A_1\oplus A_2</math>) ma non liberi.
Su un [[campo (matematica)|campo]] o su un [[corpo (matematica)|corpo]], tutti i moduli sono proiettivi; in generale, se tutti gli ''A''-moduli sono proiettivi, l'anello è detto [[anello semisemplice|semisemplice]]. Questo avviene, inoltre, se e solo se tutti gli ''A''-moduli sono [[modulo iniettivo|iniettivi]], e se e solo se la sua [[dimensione globale]] è 0.
Una [[somma diretta]] <math>P=\bigoplus P_i</math> di moduli è proiettiva se e solo se lo è ogni addendo; il [[prodotto tensoriale]] di due moduli proiettivi è ancora proiettivo.
Un ideale di ''A'' è un ''A''-modulo proiettivo se e solo se è [[ideale invertibile|invertibile]].
Tutti i moduli proiettivi sono [[modulo piatto|piatti]]; anche in questo caso, il viceversa non è vero. Tuttavia, tutti i moduli piatti [[finitamente presentato|finitamente presentati]] sono proiettivi.<ref>{{cita|Weibel|p.71}}</ref>
== Risoluzioni proiettive ==
Una '''risoluzione proiettiva''' di un modulo ''M'' è una [[successione esatta]]
:<math>\cdots\longrightarrow P_n\longrightarrow\cdots\longrightarrow P_1\longrightarrow P_0\longrightarrow M\longrightarrow 0</math>
in cui ogni ''P<sub>i</sub>'' è proiettivo; poiché ogni modulo è il quoziente di un modulo libero, ogni modulo ha una risoluzione proiettiva. Se ''P<sub>k</sub>'' è il modulo nullo per ogni ''k'' > ''n'', la risoluzione è detta ''finita''; il minimo ''n'' per cui esiste una risoluzione finita
:<math>0\longrightarrow P_n\longrightarrow\cdots\longrightarrow P_1\longrightarrow P_0\longrightarrow M\longrightarrow 0</math>
è detto '''dimensione proiettiva''' di ''M''; se ''M'' non ha alcuna risoluzione finita, la sua dimensione proiettiva è infinita. L'[[estremo superiore]] della dimensioni proiettive degli ''A''-moduli è detta [[dimensione globale]] (o ''omologica'') di ''A''.
== Note ==
<references/>
== Bibliografia ==
*{{cita libro|autore=Charles A. Weibel|titolo=An introduction to homological algebra|editore=Cambridge University Press|id=ISBN 0-521-43500-5|lingua=inglese}}
*{{cita libro|autore=Pete L. Clark|titolo=Commutative Algebra|url=http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf|accesso=5 novembre 2011|lingua=inglese|cid=Clarke}}
== Collegamenti esterni ==
*{{EncyMath|p/p075280|Projective module}}
{{Portale|matematica}}
<nowiki>[[Categoria:Algebra omologica]]
[[Categoria:Teoria dei moduli|Proiettivo]]
[[en:Projective module]]</nowiki>
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