Passaggio al limite sotto segno di integrale: differenze tra le versioni

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In [[analisi matematica]], per '''passaggio al limite sotto segno di integrale''' si intende la possibilità di ottenere il [[limite (matematica)|limite]] degli [[integrale definito|integrali]] di una [[successione (matematica)|successione]] di [[funzione (matematica)|funzioni]] come integrale del limite delle funzioni stesse,. ovveroSi latratta veritàdello dell'uguaglianzastudio delle condizioni per cui sia possibile scrivere:

:<math>\lim_{n\to\infty}\int_E f_n(x)\mathrm{d}x=\int_E\lim_{n\to\infty} f_n(x)\mathrm{d}x</math>

LaQuesta possibilitàproblematica disi effettuare questo scambio è un'importante questione, chemanifesta hain un gran numero di applicazioni, teoriche;e tuttavia questo passaggio non sempre è corretto. La mancanzal'assenza di teoremi "buoni" (ovvero con ipotesi sufficientemente generali) che permettano questolo scambio del passaggio al limite con l'operazione di integrazione è uno dei motivi che hanno portato alla definizione dell'[[integrale di Lebesgue]] in sostituzione dell'[[integrale di Riemann]].<ref>{{cita|Giusti|p. 259|Giusti2}}</ref>

Nel contesto dell'[[analisi funzionale]], i teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale sono lo strumento principale per stabilire se, per una data successione di funzioni, la [[convergenza puntuale]] ([[quasi ovunque]]) implica la convergenza in [[spazio Lp|norma L¹]].

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=== Scambio di integrali ===

{{vedi anche|teorema di Tonelli|teorema di Fubini}}

Il calcolo effettivo della quasi totalità degli [[integrale multiplo|integrali multipli]] dipende in maniera cruciale dalla possibilità di ridurre l'integrale in più dimensioni a più integrali in una dimensione, ovvero di poter avere:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 140|rudin}}</ref>

:<math>\int_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\mathrm{d}x\mathbb{d}y=\int_{\mathbb{R}}\mathrm{d}x\int_\mathbb{R} f(x,y)\mathrm{d}y=\int_{\mathbb{R}}\mathrm{d}y\int_\mathbb{R} f(x,y)\mathrm{d}x</math>

dove per semplicità si è scritto un integrale sui reali in due dimensioni. La possibilità di effettuare questo scambio dipende in maniera critica dai teoremi di passaggio al limite: nella dimostrazione del teorema di Tonelli, che afferma la possibilità dello scambio per funzioni positive, un importante passaggiovi è costituito dall'usareinfatti la possibilità di approssimare ogni [[funzione misurabile]] con una successione crescente di [[funzione semplice|funzioni semplici]], alla quale poter applicare il teorema della convergenza monotona.

=== Teoria della probabilità ===

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* {{cita libro | cognome= Rudin| nome= Walter | titolo= Real and Complex Analysis | editore= McGraw-Hill | città= Mladinska Knjiga| anno= 1970|id=ISBN 0070542341|cid =rudin}}

*{{cita libro|autore=[[David Williams (matematico)|David Williams]]|titolo=Probability with Martingales|editore=Cambridge Mathematical Textbooks|anno=1991|id=ISBN 978-0-521-40605-5}}

==Voci correlate==

* [[Convergenza uniforme]]

* [[Integrale di Lebesgue]]

* [[Integrale di Riemann]]

* [[Lemma di Fatou]]

* [[Teorema della convergenza dominata]]

* [[Teorema della convergenza monotona]]

* [[Teorema di Fubini]]

{{portale|matematica}}