Teorema di Pascal: differenze tra le versioni

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Il '''Teorema di Pascal''', di [[Blaise Pascal]], è uno dei teoremi-base della [[Sezione conica|teoria delle coniche]]. Premesso che sei punti ordinati A1, A2, A3, A4, A5, A6 di una conica individuano un [[esagono]] inscritto in essa, il teorema di Pascal fornisce una condizione grafica caratteristica affinché un dato esagono sia inscrittibile in una conica.

== Il teorema ==

Poiché una conica è individuata da 5 suoi punti, tale teorema fornisce una condizione affinché un sesto vertice dell'esagono appartenga alla conica individuata dagli altri 5 vertici di tale poligono. La condizione è la seguente: siano A1, A2, A3, A4, A5, A6 sei punti dati ordinatamente nel piano e siano B1, B2, B3 i punti comuni, rispettivamente, alle rette A1-A2 e A4-A5, alle rette A2-A3 e A5-A6, alle rette A3-A4 e A6-A1; i sei punti appartengono ad una conica se, e soltanto se, i tre punti B1, B2, B3 appartengono ad una retta, che è chiamata ''[[retta di Pascal]]''. Il caso particolare in cui i sei punti sono contenuti in una ''conica degenere'', cioè l'unione di due rette, si traduce nel [[teorema di Pappo-Pascal]].

=== Per cinque punti generici passa una sola conica ===

Un risultato classico della teoria delle coniche afferma che per 5 punti generici passa una sola conica. Per "generici" si intende in questo caso che i 5 punti devono essere distinti, e che fra di loro non ve ne sono 4 allineati, cioè giacenti sulla stessa [[retta]]: l'aggettivo "generico" suggerisce che 5 punti "presi a caso" soddisfano certamente questa proprietà.

=== Condizione sul sesto punto ===

Nel [[1847]] il teorema fu generalizzato da [[August Ferdinand Möbius]]: posto che un [[poligono]] con 4n + 2 lati sia iscritto in una sezione conica, si prolunghino i lati opposti fino a che si secano in 2n + 1 punti. Se 2n di questi punti si trovano sulla stessa retta, allora anche l'ultimo punto si trova su di essa.

Cinque punti generici determinano quindi una conica. Il teorema di Pascal fornisce una condizione affinché un sesto punto appartenga alla conica:

<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">

Siano A1, A2, A3, A4, A5, A6 sei punti nel piano e siano B1, B2, B3 i punti comuni, rispettivamente, alle rette A1-A2 e A4-A5, alle rette A2-A3 e A5-A6, alle rette A3-A4 e A6-A1.

I sei punti iniziali appartengono ad una conica se, e soltanto se, i tre punti B1, B2, B3 appartengono ad una retta, chiamata '''retta di Pascal'''.

</div>

Il caso particolare in cui i sei punti sono contenuti in una ''conica degenere'', cioè l'unione di due rette, si traduce nel [[teorema di Pappo-Pascal]].

== Generalizzazioni ==

Nel [[1847]] il teorema fu generalizzato da [[August Ferdinand Möbius]]: posto che un [[poligono]] con <math> 4n + 2 </math> lati sia iscritto in una sezione conica, si prolunghino i lati opposti fino a che si secano in <math> 2n + 1 punti</math>. Se <math> 2n </math> di questi punti si trovano sulla stessa retta, allora anche l'ultimo punto si trova su di essa.

== Voci correlate ==

* [[teorema di Pappo-Pascal]]

* [[Blaise Pascal]]

[[Categoria:Geometria piana]]