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*creare [[Glossario di teoria dei moduli]]?

*creare [[Anello semilocale]]? ([[:en:Semi-local ring]])

= [[Completamento di un anello]] (redirect [[Completamento (teoria degli anelli)]], [[Anello completo]]) =

In [[matematica]], il '''completamento di un anello''' è un'operazione che permette di ottenere, a partire da un [[anello (algebra)|anello]] ''A'', un altro anello <math>\hat{A}</math> con proprietà in generale "migliori", allo stesso modo con cui uno [[spazio metrico]] può essere [[spazio completo|completato]]; lo stesso nome "completamento" deriva dal fatto che tale operazione può essere vista come completamento di ''A'' rispetto alla [[topologia]] definita dalle potenze di un suo [[ideale (matematica)|ideale]] ''I'', detta '''topologia ''I''-adica'''.

Il completamento di un anello è generalmente utilizzato quando ''A'' è un [[anello noetheriano]] [[anello locale|locale]], che possiede cioè un unico [[ideale massimale]] ''M'', e in cui la topologia è quella ''M''-adica.

Un anello che coincide col suo completamento rispetto ad ''I'' è detto '''''I''-completo''', o semplicemente '''completo''' se ''A'' è locale e ''I=M'' il suo ideale massimale. Esempi di anelli completi sono l'insieme <math>\mathbb{Z}_{(p)}</math> dei [[numero p-adico|numeri ''p''-adici]] (completamento di <math>\mathbb{Z}</math> rispetto all'ideale <math>p\mathbb{Z}</math>) e l'[[anello delle serie formali]] <math>K[[x]]</math> su un [[campo (matematica)|campo]] ''K'' (completamento dell'[[anello dei polinomi]] <math>K[x]</math> rispetto all'ideale generato da ''x'').

== Costruzione ==

Vi sono due costruzioni del completamento <math>\hat{A}</math> di un anello ''A'': la prima topologica, la seconda algebrica.

La prima si fonda sul concetto di ''topologia I-adica'', dove ''I'' è un [[ideale (matematica)|ideale]] di ''A'': essa è la [[topologia]] generata dalle potenze <math>I^n</math> di ''I'' (il cui insieme è un [[base di intorni|sistema fondamentale di intorni]] di 0) e da tutti gli insiemi <math>a+I^n</math> (per <math>a\in A</math>), questi ultimi aggiunti in modo da rendere ''A'' un [[anello topologico]]. Su questa topologia si possono definire le [[successione di Cauchy|successioni di Cauchy]] (e la loro equivalenza) e quindi definire <math>\hat{A}</math> come l'insieme delle successione di Cauchy [[insieme quoziente|quozientato]] per equivalenza.

La seconda fa uso della nozione di [[limite inverso]]: dal momento che <math>I^{n+1}\subseteq I^n</math>, è sempre possibile definire degli [[omomorfismo di anelli|omomorfismi di anelli]] canonici <math>\theta_n:G/I^{n+1}\longrightarrow G/I^n</math>; all'interno del [[prodotto diretto]] <math>\Pi_n G/I^n</math>, <math>\hat{A}</math> è identificato come l'insieme delle ''<span style="background:#ffffaa; color:#444444">successioni coerenti</span>^[?]'', ovvero delle successioni <math>(x_n)</math> tali che <math>\theta_{n+1}(x_{n+1})=x_n</math>.

Entrambe queste costruzioni possono essere estese ai [[modulo (algebra)|moduli]] su ''A'': il completamento ''I''-adico di un modulo ''M'' può essere definito come il completamento rispetto alla topologia generata dai sottomoduli <math>I^nM</math> (e <math>m+I^nM</math>) oppure come il limite inverso della successione <math>(M/I^n)</math>. Una terza possibilità è di definire il completamento <math>\hat{M}</math> come il [[prodotto tensoriale]] <math>M\otimes_A \hat{A}</math>. In questo modo, <math>\hat{M}</math> diventa non solo un ''A''-modulo, ma anche un <math>\hat{A}</math>-modulo.

== Proprietà ==

== Rapporti tra un anello e il suo completamento ==

== Teorema di struttura ==

Il ''teorema di struttura di Cohen'' è stato dimostrato da [[Irvin Cohen]] nel <span style="background:#ffffaa; color:#444444">1946</span>^{[dovrebbe essere Cohen, I. S. (1946). "On the structure and ideal theory of complete local rings". Trans. Amer. Math. Soc. 59 (1)]}.

Afferma che, se ''A'' un anello noetheriano completo che contiene un [[campo (matematica)|campo]] ''k'', allora <math>A\simeq\frac{K[[x_1,\ldots,x_d]]}{I}</math> dove ''d'' è il numero di generatori dell'ideale massimale di ''A'', ''I'' è un ideale di <math>K[[x_1,\ldots,x_d]]</math> e ''K'' è il [[campo residuo]] di ''A''.

== Bibliografia ==

*Atiyah

*Eisenbud

{{portale|matematica}}

<nowiki>[[Categoria:Algebra commutativa]]</nowiki>