Notazione di Einstein: differenze tra le versioni

Versione delle 19:12, 17 mar 2012

Versione delle 10:58, 8 mag 2012

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=== Prodotto vettoriale ===

Il [[prodotto vettoriale]] di due vettori <math>u</math> e <math>v</math> in <math>\R^3</math> è definito come

:<math>(u\times v)_i = \epsilon_varepsilon_{ijk} u_j v_k\,\! </math>

Nell'espressione è sottointesa una somma sugli indici <math>j</math> e <math>k</math> poiché entrambi compaiono due volte nel termine di destra. Il simbolo <math>\epsilon_varepsilon_{ijk}</math> dipendente da 3 indici è il [[simbolo di Levi-Civita]]. L'espressione però ''non'' è sommata sull'indice <math>i</math>, perché questo compare una volta sola in ogni termine. L'espressione infatti esprime per ogni <math>i</math> l'<math>i</math>-esima componente del prodotto vettoriale fra <math>u</math> e <math>v</math>.

Indicando con

:<math> \mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3 </math>

la [[base canonica]] di <math>\R^3</math>, è possibile scrivere il prodotto vettoriale in un'unica equazione del tipo

:<math>u\times v = \epsilon_varepsilon_{ijk} u_j v_k \mathbf e_i.</math>

Qui la somma è effettuata su tutti gli indici <math>i,j,k</math>. In altre parole,

:<math>u\times v = \sum_{i = 1}^3 \sum_{j = 1}^3 \sum_{k = 1}^3 \epsilon_varepsilon_{ijk} u_j v_k \mathbf e_i.</math>

== Indici muti e liberi ==