Coefficiente binomiale: differenze tra le versioni

Versione delle 18:59, 5 ago 2006

Versione delle 19:17, 8 ott 2006

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Il '''coefficiente binomiale''' è definito da

:<math> C(n ; k) = {n \choose k} = \frac{n!}{k! \cdot \left( n - k \right)!}</math>

(dove [[n fattoriale|n!]] è il [[n fattoriale|fattoriale]] di n)

e può essere calcolato anche facendo ricorso al [[triangolo di Tartaglia]].

e ha le seguenti proprietà:

* <math>{n \choose 0} = {n \choose n} = 1</math>

{{cassetto|titolo=Dimostrazione|testo=

<math>{n \choose 0} = {{n!}\over{0!(n-0)!}} = {n! \over n!} = 1</math>

<math>{n \choose n} = {{n!}\over{n!(n-n)!}}= {n! \over n!} = 1</math>

}}

* <math>{n \choose 1} = {n \choose n-1} = n</math>

{{cassetto|titolo=Dimostrazione|testo=

<math>{n \choose 1} = {{n!}\over{1!(n-1)!}} = {{n!}\over{(n-1)![n-(n-1)]!}} = {n \choose n-1} = n</math>

}}

* <math>{n \choose k} = {n \choose n-k} </math>

{{cassetto|titolo=Dimostrazione|testo=

<math>{n \choose k} = {{n!}\over{k!(n-k)!}} = {{n!}\over{(n-k)![n-(n-k)]!}} = {n \choose n-k} </math>

}}

* <math>{n+1 \choose k+1} = {n \choose k+1} + {n \choose k} </math> , formula per il [[triangolo di Tartaglia]]

{{cassetto|titolo=Dimostrazione|testo=

<math>{n \choose k+1} + {n \choose k} = {{n!}\over{(k+1)!(n-k-1)!}}+{{n!}\over{k!(n-k)!}}</math>

considerando il fatto che

<math>(n-k)!=(n-k)(n-k-1)!</math>, ed allo stesso modo <math>(k+1)!=(k+1)k!</math> si ha

<math>{n \choose k+1} + {n \choose k} = {{n!}\over{(k+1)k!(n-k-1)!}}+{{n!}\over{(n-k)k!(n-k-1)!}}</math>

da cui si ottiene

<math>

{(n-k){n!}\over{(k+1)(n-k)k!(n-k-1)!}}+{(k+1){n!}\over{(k+1)(n-k)k!(n-k-1)!}}</math>

e quindi

<math>{n \choose k+1} + {n \choose k} = {(n-k+k+1){n!}\over{(k+1)k!(n-k)(n-k-1)!}}</math>

<math>{n \choose k+1} + {n \choose k} = {{(n+1)!}\over{(k+1)!(n-k)!}} = {n+1 \choose k+1}</math>

ovvero la tesi

}}

* <math>{n+1 \choose k+1} = {k \choose k} + {k+1 \choose k} + {k+2 \choose k} + ... + {n-1 \choose k} + {n \choose k} </math>

* <math>2^n = {n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} + ... + {n \choose n-1} + {n \choose n} </math>