Linearità (matematica): differenze tra le versioni

Versione delle 17:11, 30 mag 2012

Versione delle 17:32, 30 mag 2012

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Un'[[equazione algebrica]] in ''n'' incognite <math>x_1, x_2, \cdots, x_n</math> si dice ''lineare'' se è della forma

:<math> a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n +- b = 0 </math>

dove i coefficienti (costanti) <math>a_i</math> non sono tutti nulli. UnEquivalentemente, un'equazione delalgebrica generenell'incognita ammette<math>\mathbf semprex soluzioni almeno nel campo [[numeri= razionali|razionale]];(x_1, in particolare\cdots, ammette <math>\inftyx_n)^{r-1}T</math> soluzioniè reali, dovedetta ''rlineare'' èse ilesiste numeroun di coefficienti[[vettore]] <math>a_i</math> non nulli; queste soluzioni si ottengono ponendo\mathbf a [[parametro= (matematica)|parametro]]a_1, tutte\cdots, lea_n)^T incognite\in tranne\mathcal{K}^n</math> quella(dove rispetto<math>\mathcal allaK</math> qualeè siun risolve;[[campo]]) ade esempio,un seelemento <math>a_1b \nein 0\mathcal K</math>, l'equazione diper cui sopra ammettesi lepuò soluzioniscrivere:

:<math>\mathbf x_1 = -a \frac{1}{a_1}cdot \left(a_2mathbf t_2x + \cdots + a_n t_n += b\right)</math>,

dove il simbolo <math>\cdot</math> denota il [[prodotto scalare]] ordinario definito sullo spazio <math>\mathcal K^n</math>.

Un'equazione lineare può ammettere o meno soluzioni a seconda dell'insieme cui si ritiene appartenga <math>\mathbf x</math>. Segnatamente, un'equazione lineare ammette sempre soluzioni nel campo [[numeri razionali|razionale]] se sono razionali i coefficienti <math>a_1, \ldots, a_n, b</math>, o nel campo [[numeri reali|reale]] se i coefficienti sono reali; più precisamente, esistono <math>\infty^{r-1}</math> soluzioni, dove ''r'' è il numero di coefficienti <math>a_i</math> non nulli; queste soluzioni si ottengono ponendo a [[parametro (matematica)|parametro]] tutte le incognite tranne quella rispetto alla quale si risolve; ad esempio, se <math>a_1 \ne 0</math>, l'equazione di cui sopra ammette l'insieme di soluzioni

:<math>\begin{cases} x_1 = - \frac{1}{a_1} \left(a_2 t_2 + \cdots + a_n t_n + b\right) \\ x_2 = t_2 \\ \vdots \\ x_n = t_n \end{cases}</math>

dove si sono definiti i parametri liberi <math>t_i = x_i</math>.