Teoria f(R): differenze tra le versioni
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In una teoria della gravitazione tipo f(R), le equazioni di campo sono dedotte in funzione di una metrica quale variabile indipendente, tenendo costante (non trattando) la connessione.
L'azione segue le principali variazioni di un'azione di
Il determinante della variazione è al solito:</br>
:<math>\delta \sqrt{-g}= -\frac{1}{2} \sqrt{-g} g_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu}</math>.</br>
Lo Scalare di Ricci è definito come: </br>
:<math> R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}.\!</math></br>
Perciò, la sua variazione rispetto alla metrica inversa :<math>
è data da:</br>
:<math>
\begin{align}
\delta R &= R_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} + g^{\mu\nu} \delta R_{\mu\nu}\\
&= R_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} + g^{\mu\nu}(\nabla_\rho \delta \Gamma^\rho_{\nu\mu} - \nabla_\nu \delta \Gamma^\rho_{\rho\mu})
\end{align}
</math>
Dato che <math>\delta \Gamma^\lambda_{\mu\nu}\,</math> è la differenza fra le due connessioni, questa deve essere esprimibile nella seguente forma tensoriale:</br>
:<math>\delta \Gamma^\lambda_{\mu\nu}=\frac{1}{2}g^{\lambda a}\left(\nabla_\mu\delta g_{a\nu}+\nabla_\nu\delta g_{a\mu}-\nabla_a\delta g_{\mu\nu} \right)</math></br>
Sostituendo nell'equazione precedente, si ha:</br>
:<math>\delta R= R_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu}+g_{\mu\nu}\Box \delta g^{\mu\nu}-\nabla_\mu \nabla_\nu \delta g^{\mu\nu}</math>,</br>
dove:</br>
:<math>\nabla_\mu</math> è la [[Derivata covariante|derivata covariante]],</br>
:<math>\Box</math> è un [
|operatore]] di [[Operatore di d'Alembert|D'Alembert]], definito come <math>\Box=g^{\mu\nu}\nabla_\mu \nabla_\nu </math>.
Perciò, la variazione nell'azione diventa:</br>
:<math>
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</math>,</br>
dove <math>F(R)=\frac{\partial f(R)}{\partial R}</math>. </br>
Integrando per parti il secondo e terzo termine, otteniamo:</br>
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dove:</br>
:<math>T_{\mu\nu}\,</math> è il [
{{portale|fisica}}
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