|
Nella [[matematica ricreativa]], un '''repunit''' (dall'[[Lingua inglese|inglese]] "'''''rep'''eated '''unit'''''",<ref>Il termine venne coniato da [[Albert Beiler]] nel [[1964]] nel suo libro ''Recreations in the Theory of Numbers''(''[http://ssd.jpl.nasa.gov/sbdb.cgi?sstr=11111 fonte]'')</ref> ''unità ripetuta'') è un [[numero intero]] che contiene solo la [[cifra]] [[1 (cifra)|1]], come 11, 111 o 11111111111. Il termine fu coniato da [[Albert Beiler]] nel [[1964]] nel suo libro ''Recreations in the Theory of Numbers''.
IIn [[base 10]], i repunit sono definiti matematicamente come:
:<math>R_n={ 10^n-1 \over 9} ,\!</math>
dove ''R''<submath>''n''R_n</submath> è il numero in base 10 formato da ''n'' ripetizioni della cifra 1, ovviamente questo per la [[base 10]]; e la.
La sequenza dei repunit conè [[1 (numero)|1]], [[11 (numero)|11]], [[111 (numero)|111]], 1111, 11111, ... (sequenza [[OEIS:A002275|A002275]] dell'[[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]]).
==Generalizzazione ==
La definizione di repunit è un concetto che dipende dalla [[base (aritmetica)|base]] in cui il numero viene espresso; si pensi che ogni numero intero N può essere riscritto come 11 (''uno-uno'') se espresso in base N-1, ciò per un semplice motivo: un numero in un [[sistema posizionale]] può essere rappresentato comecon una [[serie geometrica]] di ragione la base di numerazione '''b''', che ne rappresenta la base di numerazione:
:<math>N = a_1^iba_0 b^0 + a_2^iba_1 b^1 + a_3^iba_2 b^2 + \dots + a_n^iba_{n-1} b^{n-1},</math>
idove varigli a<supmath>ia_i</supmath>, con <math>0 ≤\le ''i'' ≤< B-1n</math>, rapprendanorappresentano le Bn cifre presenti in quella determinatanella base dove impostiamo che:'''b'''.
Se vogliamo che quindi un numero N sia rappresentato con 11, basta risolvere l'equazione: <math>N = 1 ×\cdot b <sup>^0 </sup> + 1 ×\cdot b <sup>^1</ supmath> da cui <math>b = N - 1 </math>, cioè: ▼* a<sup>0</sup> = 0 - numero [[zero]]
:<math>N = 1 + (N - 1)^1 = 1 + (N - 1 )^1.</math> ▼* a<sup>1</sup> = 1 - numero [[uno]]
* a<sup>b</sup> = 10 = b <small>(''uno'' e ''zero'' non rappresentano il [[10 (numero)|dieci]], ma genericamente il primo numero che deve essere rappresentato con due cifre, cioè la base)</small>
▲Se vogliamo che quindi un numero N sia rappresentato con 11, basta risolvere l'equazione: N = 1 × b<sup>0</sup> + 1 × b<sup>1</sup> da cui b = N - 1, cioè:
▲:<math>N = 1 + (N - 1)^1 = 1 + N - 1</math>
Se fossimo addirittura inIn [[base unaria]], ad esempio, ogni numero sarebbe addirittura rappresentato da tanti uno quando''1'' èquanto inil valore di N:
* 2 = 11
* 3 = 111
* 6 = 111111
Risulta quindi evidente come non bisogna confondere la ''rappresentazione'' del numero colcon il ''[[numero]]'' stesso, che invece è un'entità indipendenteoggetto lamatematico qualeche può trovare, a seconda delle convenzioni, diverse rappresentazioni; ciò nonostante, quando anche la rappresentazione ha una sua spiegazione matematicagiustificazione, come in questo caso, può essa stessa essere fonte di proprietà matematiche fondate, proprietà come quelle dei repunit per i quali però conviene ragionare in termini generali, senza prendere a riferimento una [[base 10|precisa base]], come siamo soliti fare.
Partendo dal concetto che la notazione posizionale di fatto deriva da una serie geometrica, come nel caso dei repunit, ha tutte le cifre uguale 1, a<sup>i</sup> = 1, è possibile arrivare a questa formula:
:<math>R_3^{(5)}={5^3-1\over 5-1} = 31</math>
significa che 31 espresso in base 5 è uguale a ''111'' cioè un repunit R<submath>3R_3</submath>.
* [[Numero a cifra ripetuta]] (repdigit)
* [[Repunit (fattori)|Tabella dei fattori]]
* [[11111 Repunit]] - [[asteroide]] scoperto nel [[1995]]
* [[Palindromi]]
* [[Numeri primi di Mersenne]]
| 