Modello IS-LM: differenze tra le versioni
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L'[[equilibrio generale]] macroeconomico si ha quando i due [[mercato|mercati]] sono simultaneamente in equilibrio, vale a dire quando nel settore reale la domanda aggregata è uguale all'offerta aggregata e quando nel settore monetario la domanda di moneta è uguale all'offerta di moneta. L'equilibrio è simultaneo in quanto i due mercati presentano variabili comuni, e dunque essi sono interdipendenti.
==Statica comparata del modello IS-LM==
Immaginiamo che nel nostro sistema economico tutte le attività si suddividano in 2 categorie: quelle che maturano interessi dette "titoli" e quelle che non fruttano alcun interesse dette "moneta".
La domanda di moneta è la quantità di moneta di cui hanno bisogno le famiglie per provvedere agli acquisti e per fronteggiare imprevisti. Essa cresce con l'aumentare del PIL infatti se il PIL cresce aumenta la necessità di moneta da parte delle famiglie per effettuare le proprie transazioni, mentre decresce con l'aumentare del tasso di interesse dei titoli perché le famiglie riterranno più conveniente investire in titoli piuttosto che possedere moneta.
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#Se non c'è variazione di spesa pubblica ma aumenta l'offerta di moneta il Pil aumenta ma il tasso di interesse diminuisce.
#Se non c'è variazione di spesa pubblica e diminuisce l'offerta di moneta il Pil diminuisce ma il tasso di interesse aumenta.
==Dinamica del Modello IS-LM==
Dopo avere valutato la statica comparata del Modello IS-LM è opportuno valutarne anche la dinamica. In particolare è possibile valutare in che modo variano in funzione del tempo il PIL Y e il tasso di interesse r, che costituiscono le nostre variabili di stato, a partire da uno stato iniziale prestabilito sotto l'effetto di un prestabilito ingresso nel sistema costituito dalla spesa pubblica G e dall'offerta di moneta m della Banca Centrale.
Poiché il PIL cresce quando la domanda (spesa pubblica più investimenti) supera i risparmi e il tasso di interesse cresce quando la domanda di moneta supera l'offerta si ha :
:<math>\dfrac{dY}{dt}=\varphi_{1}(-sY+G+I(r))</math>
:con
:<math>\dfrac{d\varphi_{1}}{dt}>0</math>
:e
<math>\varphi_{1}(0)=0</math>
:<math>\dfrac{dr}{dt}=\varphi_{2}(L(Y,r)-m)</math>
:con
:<math>\dfrac{d\varphi_{2}}{dt}>0</math>
:e
:<math>\varphi_{2}(0)=0</math>
Riscrivendo il sistema in forma lineare si ha
:<math>\dfrac{dY}{dt}=\varphi_{1}(-sY+G-br)</math>
:<math>\dfrac{dr}{dt}=\varphi_{2}(kY-\sigma r-m)</math>
Applicando la definizione di stato stazionario di un sistema dinamico si ha che nel caso specifico esso risulti uguale alla coppia <math>(Y_{*},r_{*})</math> tale che :
:<math>\dfrac{dY}{dt}=\varphi_{1}(-sY_{*}+G-br_{*})=0</math>
:<math>\dfrac{dr}{dt}=\varphi_{2}(kY_{*}-\sigma r_{*}-m)=0</math>
Essendo le funzioni <math>\varphi_{1},\varphi_{2}</math> lineari e crescenti in base alle ipotesi allora esistono le loro rispettive funzioni inverse e si ha :
:<math>-s\varphi_{1}(Y_{*})+\varphi_{1}(G)-b\varphi_{1}(r_{*})=0</math>
:<math>k\varphi_{2}(Y_{*})-\sigma \varphi_{2}(r_{*})-\varphi_{2}(m)=0</math>
e quindi :
:<math>-sY_{*}+G-br_{*}=\varphi_{1}^{-1}(0)=0</math>
:<math>kY_{*}-\sigma r_{*}-m=\varphi_{2}^{-1}(0)=0</math>
Risolvendo il sistema si ottiene lo stato stazionario :
:<math>Y_{*}=\dfrac{\sigma G+bm}{s\sigma +bk}</math>
:<math>r_{*}=\dfrac{kG-sm}{s\sigma +bk}</math>
Posto :
:<math>Y_{1}:=Y-Y_{*}</math>
:e
:<math>r_{1}:=r-r_{*}</math>
per la linearità delle 2 funzioni si ha :
:<math>\dfrac{dY_{1}}{dt}=\varphi_{1*}(-sY_{1}+G-br_{1})</math>
:<math>\dfrac{dr_{1}}{dt}=\varphi_{2*}(kY_{1}-\sigma r_{1}-m)</math>
Applicando la formula di Taylor alle funzioni <math>\varphi_{1*},\varphi_{2*}</math> si ha :
:<math>\dfrac{dY_{1}}{dt}=-sY_{1}+G-br_{1}</math>
:<math>\dfrac{dr_{1}}{dt}=kY_{1}-\sigma r_{1}-m</math>
che si può scrivere nella forma :
:<math>\left( \begin{array}{c}
\dfrac{dY_{1}}{dt} \\ \dfrac{dr_{1}}{dt} \end{array}\right)=
\left( \begin{array}{cc} -s & -b \\ k & -\sigma \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} Y_{1} \\ r_{1} \end{array}\right)+
\left( \begin{array}{c} G \\ -m \end{array}\right)</math>
Calcolando gli autovalori e gli autovettori della matrice :
:<math>A:=\left( \begin{array}{cc} -s & -b \\ k & -\sigma \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} Y_{1} \\ r_{1} \end{array}\right)</math>
e applicando la formula per il calcolo della soluzione dei sistemi dinamici lineari nel caso di autovalori reali e distinti si ha :
:<math>\left( \begin{array}{c}
Y \\ r \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c}
Y_{*} \\ r_{*} \end{array}\right)+Pe^{\Lambda t}P^{-1}\left( \begin{array}{c}
Y_{0}-Y_{*} \\ r_{0}-r_{*} \end{array}\right)+\int_{0}^{t}Pe^{\Lambda(t-\tau)}P^{-1}\left( \begin{array}{c}
G \\ -m \end{array}\right)d\tau</math>
con P matrice 2x2 le cui colonne sono gli autovettori di A,<math>e^{\Lambda t}</math> matrice diagonale dove sulla diagonale principale vi sono gli esponenziali elevati a ciascun autovalore moltiplicato per t.
Applicando la formula per il calcolo della soluzione dei sistemi dinamici lineari nel caso di autovalori complessi coniugati si ha :
:<math>x(t)=T^{-1}e^{\alpha(t-t_0)}\left(\begin{array}{cc} \cos \omega (t-t_0) & \sin \omega (t-t_0) \\ -\sin \omega (t-t_0) & \cos \omega (t-t_0) \end{array}\right)Tx(t_{0})+x_f(t)</math>
:con
:<math>T=\left(\begin{array}{cc}
\alpha & \omega \\
-\omega & \alpha \end{array}\right)</math>
con alpha e omega rispettivamente parte reale e parte immaginaria degli autovalori complessi coniugati.
Si nota che essendo s,b,k <math>\sigma</math> quantità positive gli autovalori della matrice A sono sia nel caso reale che nel caso complesso coniugato con parte reale negativa quindi calcolando il limite per t tendente a infinito si nota che il PIL e il tasso di interesse convergono sempre verso lo stato stazionario, pertanto il modello IS LM è stabile. La convergenza verso lo stato stazionario può avvenire o crescendo o decrescendo oppure oscillando.
== Equazioni della curva LM ==
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