Modello IS-LM: differenze tra le versioni
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Poiché il PIL cresce quando la domanda (spesa pubblica più investimenti) supera i risparmi e il tasso di interesse cresce quando la domanda di moneta supera l'offerta si ha :
:<math>\dfrac{dY}{dt}=\varphi_{1}(-sY(t)+G(t)+I(r(t))) \quad con \quad \dfrac{d\varphi_{1}}{dt}>0 \quad \varphi_{1}(0)=0</math>
:<math>\dfrac{dr}{dt}=\varphi_{2}(L(Y(t),r(t))-m(t)) \quad con \quad \dfrac{d\varphi_{2}}{dt}>0 \quad \varphi_{2}(0)=0</math>
Riscrivendo il sistema in forma lineare si ha
:<math>\dfrac{dY}{dt}=\varphi_{1}(-sY(t)+G(t)-br(t))</math>
:<math>\dfrac{dr}{dt}=\varphi_{2}(kY(t)-\sigma r(t)-m(t))</math>
Applicando la definizione di stato stazionario di un sistema dinamico si ha che nel caso specifico esso risulti uguale alla coppia <math>(Y_{*},r_{*})</math> tale che :
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Posto :
:<math>Y_{1}(t):=Y(t)-Y_{*}</math>
:e
:<math>r_{1}(t):=r(t)-r_{*}</math>
per la linearità delle 2 funzioni si ha :
:<math>\dfrac{dY_{1}}{dt}=\varphi_{1*}(-sY_{1}(t)+G(t)-br_{1}(t))</math>
:<math>\dfrac{dr_{1}}{dt}=\varphi_{2*}(kY_{1}(t)-\sigma r_{1}(t)-m(t))</math>
Applicando la formula di Taylor alle funzioni <math>\varphi_{1*},\varphi_{2*}</math> si ha :
:<math>\dfrac{dY_{1}}{dt}=-sY_{1}(t)+G(t)-br_{1}(t)</math>
:<math>\dfrac{dr_{1}}{dt}=kY_{1}(t)-\sigma r_{1}(t)-m(t)</math>
che si può scrivere nella forma :
:<math>\left( \begin{array}{c}
\dfrac{dY_{1}(t)}{dt} \\ \dfrac{dr_{1}(t)}{dt} \end{array}\right)=
\left( \begin{array}{cc} -s & -b \\ k & -\sigma \end{array}\right)\left( \begin{array}{c} Y_{1}(t) \\ r_{1}(t) \end{array}\right)+
\left( \begin{array}{c} G(t) \\ -m(t) \end{array}\right)</math>
Calcolando gli autovalori e gli autovettori della matrice :
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:<math>\left( \begin{array}{c}
Y(t) \\ r(t) \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c}
Y_{*} \\ r_{*} \end{array}\right)+Pe^{\Lambda t}P^{-1}\left( \begin{array}{c}
Y_{0}-Y_{*} \\ r_{0}-r_{*} \end{array}\right)+\int_{0}^{t}Pe^{\Lambda(t-\tau)}P^{-1}\left( \begin{array}{c}
G(\tau) \\ -m(\tau) \end{array}\right)d\tau</math>
con P matrice 2x2 le cui colonne sono gli autovettori di A,<math>e^{\Lambda t}</math> matrice diagonale dove sulla diagonale principale vi sono gli esponenziali elevati a ciascun autovalore moltiplicato per t.
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:<math>\left( \begin{array}{c}
Y(t) \\ r(t) \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c}
Y_{*} \\ r_{*} \end{array}\right)+T^{-1}e^{\alpha t}\left(\begin{array}{cc} \cos \omega t & \sin \omega t \\ -\sin \omega t & \cos \omega t \end{array}\right)T\left( \begin{array}{c}
Y_{0}-Y_{*} \\ r_{0}-r_{*} \end{array}\right)+\left( \begin{array}{c}
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:e
<math>\left(\begin{array}{c}Y(t) \\ r(t) \end{array}\right)_{f}=\int_{0}^{t}T^{-1}e^{\alpha (t-\tau)}\left(\begin{array}{cc} \cos \omega (t-\tau) & \sin \omega (t-\tau) \\ -\sin \omega (t-\tau) & \cos \omega (t-\tau) \end{array}\right)T\left( \begin{array}{c}
G(t) \\ -m(t) \end{array}\right)d\tau</math>
con alpha e omega rispettivamente parte reale e parte immaginaria degli autovalori complessi coniugati.
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