Funzione di Cantor: differenze tra le versioni

Versione delle 13:04, 8 ago 2011

Versione delle 20:50, 21 lug 2012

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In [[matematica]], la '''funzione di Cantor''' (a volte chiamata '''funzione di Cantor-Vitali''', o '''scala del diavolo''') è un esempio di [[funzione continua]] e [[funzione crescente|crescente]] nonostante abbia [[derivata]] zero in [[quasi ovunque|quasi tutti i punti]] essendo costante in tutti i sottointervalli di [0,1] che non contengono punti dell'[[insieme di Cantor]]. Intuitivamente, è una scala con infiniti gradini, tutti di pendenza zero, ma ad altezze progressivamente crescenti, in modo che la pendenza media risulti comunque pari a 1.

[[ImmagineFile:CantorFunction.png|thumb|350px|right|La funzione di Cantor è una scala con infiniti gradini di pendenza nulla, ma di altezza progressivamente crescente: questo disegno ne mostra una approssimazione.]]

== Definizione ==

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La funzione di Cantor ''f'':[0, 1] → [0, 1] è definita nel modo seguente:

#Scriviamo ogni numero ''x'' in [0, 1] in [[sistemi_di_numerazionesistemi di numerazione|base tre]]. Con questa notazione, 1/3 si scrive come 0.1₃ e 2/3 si scrive come 0.2₃. Notiamo che i numeri razionali possono avere due scritture diverse, ad esempio 1/3 si scrive anche come 0.0222...₃ (questo fatto è vero anche in base 10: infatti 0.1 si scrive anche come 0.09999...). Scegliamo, quando è possibile, una notazione che non contiene la cifra "1".

#Sostituiamo la prima occorrenza della cifra "1" con un "2" e tutte le successive con "0".

#Sostituiamo tutte le cifre "2" con "1".

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*Sia <math>f_{0}(x)=x</math>;

*Sia <math>f_{n}(x)</math> una funzione crescente il cui grafico è la poligonale suggerita in figura a lato, avente <math>2^{n+1}-1</math> lati: 2ⁿ lati sono obliqui di [[coefficiente angolare]] (3/2)ⁿ e 2ⁿ-1 lati sono orizzontali, ciascuno di lunghezza (1/3)ⁿ. Per ogni n∈N risulta f_n(0)=0, f_n(1)=1. In figura sono disegnate f₀, f₁ e f₂.

[[ImmagineFile:Cantor_function_sequence.png|right|Le prime tre funzioni della successione]]

Si può "costruire" la ''n''+1-esima poligonale f_n+1 come una trasformazione della f_n: infatti, detti I_k<sup>(n)</sub>, k=1,...,2ⁿ e J_k<sup>(n)</sub>, k=1,...,2ⁿ-1 le proiezioni sull'asse delle ascisse dei lati obliqui e di quelli orizzontali rispettivamente (notare che è f(J_k<sup>(n)</sub>) = {k/2<sup>n</sub>}), allora è f_n+1 = f_n in J_k<sup>(n)</sub> per ogni k, mentre ogni lato obliquo di f_n (che ha come proiezione sull’asse delle ascisse l’intervallo I_k<sup>(n)</sub>) viene modificato in tre lati, di cui due obliqui in corrispondenza agli intervalli I_2k-1<sup>(n+1)</sub> e I_2k<sup>(n+1)</sub>, e uno orizzontale in corrispondenza all’intervallo J_2k-1<sup>(n+1)</sub>.

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La funzione di Cantor, ristretta all'insieme di Cantor, è sempre continua, crescente e suriettiva sull'intervallo

[0,&nbsp;1]: questo implica che l'insieme di Cantor non è [[numerabile]]. Questa funzione è utile per definire una [[curva di Peano]], cioè una [[curva_curva (matematica)|curva]] che riempie totalmente un quadrato.

== Voci correlate ==

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[[es:Función de Cantor]]

[[fr:Escalier de Cantor]]

[[he:פונקציית קנטור]]

[[is:Cantor-Lebesgue fallið]]

[[pl:Funkcja Cantora]]