Linearità (matematica): differenze tra le versioni

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La '''linearità''' in [[matematica]] è una relazione che intercorre fra due o più enti matematici. Intuitivamente, due quantità sono in relazione lineare se tra loro sussiste una qualche forma di [[proporzionalità diretta]]: per esempio, la legge <math>A = 3B\,</math> correla linearmente ''A'' e ''B'' (se ''B'' raddoppia, anche ''A'' raddoppia). Il significato esatto di ''linearità'' dipende tuttavia dal contesto in cui il termine viene adoperato.

== Definizioni ==

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{{vedi anche|Trasformazione lineare}}

Un'[[applicazione]] <math>f: V \to W</math> definita da un <math>\mathcal{K}</math>-[[spazio vettoriale]] <math>V</math> a un <math>\mathcal{K}</math>-spazio <math>W</math> è ''lineare'' se, per ogni elemento <math>x</math> e <math>y</math> appartenenti a <math>V</math> su cui agisce la funzione, e per ogni [[scalare]] <math>\lambda</math> e <math>\mu</math> per cui tale funzione può essere moltiplicata, vale la relazione:

:<math>f(\lambda x + \mu y)\, = \lambda f(x)\, + \mu f(y)\,</math>.

Più in generale, un'applicazione che preservi le leggi di composizione tra due insiemi dotati della stessa [[struttura algebrica|struttura]] è detto [[omomorfismo]]; a seconda della struttura definita su tali insiemi, si parla quindi di [[omomorfismo di gruppi]], [[omomorfismo di anelli|di anelli]], [[trasformazione lineare|di spazi vettoriali]] (''vedi sopra'') e [[omomorfismo di algebre|di algebre]].

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In questo caso, la linearità dell'equazione si esprime nel fatto che le varie derivate di ''y'' compaiono tutte al primo grado (o a grado zero); la dicitura "lineare" è motivata dal fatto che l'operatore

:<math> \mathfrak{L} : y \mapsto a_n(x)y^{(n)} + \cdots + a_1(x)y^{\prime} + a_0(x)y</math>

è lineare, cioè, se <math>y_1\,</math> è soluzione di <math>\mathfrak{L}(y) = f_1 (x)</math> e <math>y_2\,</math> è soluzione di <math>\mathfrak{L}(y) = f_2 (x)</math>, allora <math>(y_1+y_2)\,</math> è soluzione di <math>\mathfrak{L}(y) = f_1 (x) + f_2 (x)</math>,

o, in altri termini, vale la relazione

:<math>\mathfrak{L}(ay_1+by_2) = a \mathfrak{L}(y_1) + b \mathfrak{L}(y_2) \quad \forall a,b \in \mathbb{R}</math>.

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La rappresentazione [[piano cartesiano|cartesiana]] di un'equazione lineare in ''n'' incognite è un [[iperpiano]] ''n-1''-dimensionale immerso nell<nowiki>'</nowiki>''n''-spazio. Ad esempio, l'equazione

:<math>3x + 8y - 2 = 0\,</math>

individua una [[retta]] sul piano (x,y), mentre all'equazione

:<math>x + 2y - z + 1 = 0\,</math>

corrisponde un [[piano (geometria)|piano]] nello spazio (x,y,z); queste equazioni sono dette in ''forma implicita'', laddove le corrispettive ''forme esplicite'' sarebbero, rispettivamente,

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(rispetto alla coordinata ''y'') e

:<math>z = x + 2y + 1\,</math>

(rispetto alla coordinata ''z'').