Utente:Cantor26/Sandbox: differenze tra le versioni

Versione delle 19:01, 26 ago 2012

Versione delle 19:08, 26 ago 2012

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L'idea che sta alla base della cosmologia costruita sulla teoria della gravitazione di Einstein è che la distribuzione di materia fa incurvare lo spazio-tempo . Ad esempio si può verificare che lo spazio-tempo intorno al sole è curvo e la curvatura dipende dalla massa del sole.

Se si suppone l'universo omogeneo ed isotropo, in base al principio cosmologico, e quindi la densità di materia dell'universo, data dal rapporto tra la sua massa ed il suo volume è costante, fissato un determinato istante di tempo, allora, lo spazio tridimensionale si incurva e la curvatura per il principio cosmologico è costante, ma in un istante di tempo successivo sia la densità che la curvatura saranno diverse, infatti la densità dipende dal volume e il volume dipende dal raggio di curvatura, per cui visto che per la legge di Hubble l'universo si espande anche il raggio di curvatura varierà nel tempo e quindi anche la densità e la curvatura.

Ad esempio una 2-sfera che si può immaginare facilmente si può ottenere facendo incurvare uno spazio bidimensionale e introducendo una terza dimensione, analogamente una 3-sfera si può ottenere facendo incurvare uno spazio tridimensionale solo che risulta più difficile immaginarla, tra l'altro in tal caso introdurre una quarta dimensione spaziale non è assolutamente necessario.

Einstein ha dimostrato che esistono 3 tipi di spazi tridimensionali a curvatura costante contraddistinti dal parametro k:

*lo spazio euclideo a curvatura nulla (k=0) a cui siamo abituati

*lo spazio sferico a curvatura positiva (k=1)

*lo spazio iperbolico a curvatura negativa (k=-1)

Nell'ipotesi che lo spazio tridimensionale sia sferico a curvatura positiva, per cui noi viviamo su questa sfera, se noi ci troviamo in un punto P della sfera, mentre la galassia che staimo osservando si trova in Q nella sfera, la distanza l tra P e Q sarà data dalla lunghezza della geodetica, cioè dell'arco di cerchio massimo, che collega P a Q.La geodetica forma un angolo

:<math>\theta</math> tra i 2 raggi di curvatura R per cui usando la relazione

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Facendo un'opportuna semplificazione si può ipotizzare che lo spazio sia una 2-sfera, cioè una sfera ottenuta incurvando lo spazio bidimensionale, di cui abbiamo una netta percezione e non una 3-sfera, cioè una sfera ottenuta incurvando lo spazio tridimensionale, che rappresenta una delle due possibili alternative di spazi a curvatura costante assieme alla spazio iperbolico.

Considerata una galassia al bordo della 2-sfera, per il teorema di Gauss il flusso del campo gravitazionale attraverso la 2-sfera dipende soltanto dalla massa al suo interno pertanto la galassia è sottoposta alla forza gravitazionale di Newton:

:<math> F_{1}=G\dfrac{Mm}{R^{2}(t)} </math>

con m massa della galassia, M massa complessiva dell'universo, G costante gravitazionale, rR raggio di curvatura dell'universo (considerato che la galassia è al bordo della 2-sfera).

[[File:2-sfera.png|thumb|right|400px]]

Poichè l'universo è in espansione accellerata, allora nell'ipotesi di un sistema di riferimento inerziale la risultante delle forze agenti sulla galassia è diversa da 0 . La direzione della risultante è la stessa della forza gravitazionale ma con verso opposto pertanto si ha: