Trasformata di Legendre: differenze tra le versioni

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riformulazione parziale della definizione, generalizzo
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[[File:LegendreTransform1.png|thumb|256px|right|Trasformazione di Legendre di una generica funzione <math> f(x) </math>. La funzione è disegnata in rosso, la retta tangente a <math> x_0 </math> è in blu. La retta tangente interseca l'asse verticale in <math>(0,f^\star)</math>, mentre <math>f^\star</math> è il valore della trasformata di Legendre <math>f^\star (p)</math>, con <math>p=\dot{f}(x_0)</math>.]]
 
In [[matematica]], la '''trasformata di Legendre''', il cui nome è dovuto a [[Adrien-Marie Legendre]], è un procedimento che trasforma una [[Funzione (matematica)|funzione]] a valori [[Numero reale|reali]] di variabile reale in un'altra funzione. Nello specifico, la trasformata di Legendre <math>f^\star</math> di una [[funzione convessa]] <math>f(x)</math> è data da:
 
== Definizione ==
:<math>f^\star(p) = \sup_x\bigl(px-f(x)\bigr)</math>
La trasformata di Legendre <math>f^\star</math> di una funzione [[numerifunzione reali|realeconvessa]] [[funzionenumeri convessareali|convessareale]] <math>f(x) : \R \to \R</math> è definitadata comeda:
 
:<math>f^\star(p) = \sup_x\bigl(px-f(x)\bigr) \qquad p \in \R</math>
Nel caso <math>f</math> sia una [[funzione differenziabile]] la trasformata di Legendre trasforma funzione <math>f</math> in un'altra funzione dipendente esplicitamente dalla derivata <math>f'</math> invece che da <math>x</math>. Se si definisce <math>p = df / dx</math> come nuova variabile, allora si può scrivere la nuova funzione come <math>f^\star(p)</math>, la trasformata di Legendre della funzione <math>f</math>.
 
Nel caso <math>f</math> sia [[funzione differenziabile|differenziabile]] la trasformata <math>f^\star</math> può essere vista come il valore cambiato di segno dell'[[intercetta]] sull'asse <math>y</math> di una particolare retta tangente alla funzione, quella di pendenza <math>p</math>. Per calcolare l'estremante di <math>px-f(x)</math> rispetto a <math>x</math>, che è la massima distanza tra la funzione e la retta <math>y = px</math>, si pone la derivata nulla:
Un modo di scrivere esplicitamente la <math>f^\star(p)</math> si ottiene differenziando la funzione <math>f</math>:
 
:<math>df =\frac{d}{dx} \left(px-f'(x) \,dxright) = \fracp-{df}{(x) \over dx}dx = p\,dx0</math>
 
sicchè il valore massimo si verifica quando:
introducendo la funzione ausiliaria <math>g = f-px</math> si ha, allora:
 
:<math>dgp = {df-p\,dx-(x) \,dpover dx} = -f'(x\,dp)</math>
 
Nel caso <math>f(x) : \R^n \to \R</math> si ha:
che implica:
 
:<math>x\nabla_x \left(p) =\cdot x-f(x) \frac{dg}{dp}right) = 0</math>
 
ed il vettore <math>p</math> coincide con il gradiente:
La funzione ausiliaria <math>g</math> si chiama ''generatrice'', e permette di scrivere <math>f[x(p)]</math>.
 
:<math>p = \nabla f(x)</math>
Le trasformate di Legendre sono utilizzate in fisica in più campi, quali la [[termodinamica]] e la [[meccanica analitica]].
 
Scrivendo <math>x</math> in funzione di <math>p</math> e inserendolo nella derivata si ottiene una definizione operativa:
== Definizione ==
La trasformata di Legendre di una funzione [[numeri reali|reale]] [[funzione convessa|convessa]] <math>f</math> è definita come:
 
:<math>f^\star(pf'(x)) = x f'(x) - f(x) = p \max_x,\, x(pxp) - f(x(p)) </math>
 
dove lanella notazionerelazione <math>\max_xa </math>destra indicasi ilè massimoesplicitata dell'espressionela rispettodipendenza alladella variabiletrasformata da <math>xp</math>. La contrasformata di Legendre trasforma <math>pf</math> costante.in Unaun'altra definizionefunzione alternativadipendente siesplicitamente ottienedalla massimizzando la funzionederivata <math>g(x,p)=px-f(x)'</math> rispettoinvece allache variabileda <math>x</math>. I punti stazionari si ottengono imponendo:
 
===Funzione generatrice===
:<math>\frac{\partial g(x,p)}{\partial x}=p-f'(x)=0 \ \Rightarrow \ p=f'(x)</math>
Un modo di scrivere esplicitamente la <math>f^\star(p)</math> si ottiene differenziando la funzione <math>f</math>:
 
:<math>df = f'(x)\,dx = \frac{df}{dx}dx = p\,dx</math>
La relazione trovata imassimizza <math>g(x)</math>, come si osserva dalla derivata seconda tenendo conto della convessità:
 
introducendoIntroducendo la funzione ausiliaria <math>g = f-px</math> si ha, allora:
:<math>\frac{\partial ^2g(x,p)}{\partial x^2}=-f''(x)<0</math>
 
:<math>dg = df-p\,dx-x\,dp = -x\,dp</math>
Quindi si può in definitiva usare come definizione alternativa (e operativa) la seguente:
 
:essendo <math>f^\stardf (p)=px( p)-f(x(p))\,dx</math>. Si ha pertanto:
 
:<math>x(p) = -\frac{dg}{dp}</math>
 
La funzione ausiliaria <math>g</math> si chiama ''generatrice'', e permette di scrivere <math>f[x(p)]</math>.
 
In generale, si dimostra che se <math>f(x) : \R^n \to \R</math> e <math>g(p) = f^\star(p)</math> allora <math>x(p) = \nabla g(p)</math>, dove <math>x(p)</math> è la soluzione di <math>p = (\nabla f )(x)</math>. Questo risultato consente di mostrare che la trasformata di Legendre applicata da una funzione convessa produce un'altra funzione convessa.
 
===Esempio===
Ad esempio, nel caso in cui <math>f(x) = \log x</math> si ottiene che:
 
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e semplificando:
 
:<math>\frac{1}{x}\frac{dx}{dp} = p\frac{dx}{dp}</math>

da \ \Rightarrow \ cui:

:<math>\frac{1}{x} = p\,</math>
 
 
== Hamiltoniana ==