Trasformata di Legendre: differenze tra le versioni
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riformulazione parziale della definizione, generalizzo |
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[[File:LegendreTransform1.png|thumb|256px|right|Trasformazione di Legendre di una generica funzione <math> f(x) </math>. La funzione è disegnata in rosso, la retta tangente a <math> x_0 </math> è in blu. La retta tangente interseca l'asse verticale in <math>(0,f^\star)</math>, mentre <math>f^\star</math> è il valore della trasformata di Legendre <math>f^\star (p)</math>, con <math>p=\dot{f}(x_0)</math>.]]
In [[matematica]], la '''trasformata di Legendre''', il cui nome è dovuto a [[Adrien-Marie Legendre]], è un procedimento che trasforma una [[Funzione (matematica)|funzione]] a valori [[Numero reale|reali]] di variabile reale in un'altra funzione.
== Definizione ==▼
:<math>f^\star(p) = \sup_x\bigl(px-f(x)\bigr)</math>▼
La trasformata di Legendre <math>f^\star</math> di una
▲:<math>f^\star(p) = \sup_x\bigl(px-f(x)\bigr) \qquad p \in \R</math>
Nel caso <math>f</math> sia [[funzione differenziabile|differenziabile]] la trasformata <math>f^\star</math> può essere vista come il valore cambiato di segno dell'[[intercetta]] sull'asse <math>y</math> di una particolare retta tangente alla funzione, quella di pendenza <math>p</math>. Per calcolare l'estremante di <math>px-f(x)</math> rispetto a <math>x</math>, che è la massima distanza tra la funzione e la retta <math>y = px</math>, si pone la derivata nulla:
Un modo di scrivere esplicitamente la <math>f^\star(p)</math> si ottiene differenziando la funzione <math>f</math>:▼
:<math>
sicchè il valore massimo si verifica quando:
introducendo la funzione ausiliaria <math>g = f-px</math> si ha, allora:▼
:<math>
Nel caso <math>f(x) : \R^n \to \R</math> si ha:
:<math>
ed il vettore <math>p</math> coincide con il gradiente:
La funzione ausiliaria <math>g</math> si chiama ''generatrice'', e permette di scrivere <math>f[x(p)]</math>.▼
:<math>p = \nabla f(x)</math>
Scrivendo <math>x</math> in funzione di <math>p</math> e inserendolo nella derivata si ottiene una definizione operativa:
▲== Definizione ==
▲La trasformata di Legendre di una funzione [[numeri reali|reale]] [[funzione convessa|convessa]] <math>f</math> è definita come:
:<math>f^\star(
dove
===Funzione generatrice===
▲Un modo di scrivere esplicitamente
:<math>df = f'(x)\,dx = \frac{df}{dx}dx = p\,dx</math>
:<math>dg = df-p\,dx-x\,dp = -x\,dp</math>
:<math>x(p) = -\frac{dg}{dp}</math>
▲La funzione ausiliaria <math>g</math> si chiama ''generatrice''
In generale, si dimostra che se <math>f(x) : \R^n \to \R</math> e <math>g(p) = f^\star(p)</math> allora <math>x(p) = \nabla g(p)</math>, dove <math>x(p)</math> è la soluzione di <math>p = (\nabla f )(x)</math>. Questo risultato consente di mostrare che la trasformata di Legendre applicata da una funzione convessa produce un'altra funzione convessa.
===Esempio===
Ad esempio, nel caso in cui <math>f(x) = \log x</math> si ottiene che:
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e semplificando:
:<math>\frac{1}{x}\frac{dx}{dp} = p\frac{dx}{dp}</math>
da :<math>\frac{1}{x} = p == Hamiltoniana ==
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