Funzione differenziabile: differenze tra le versioni
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* Se <math> m = n = 1 </math>, la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di [[funzione derivabile|derivabilità]]. La matrice jacobiana si riduce ad un numero, pari alla [[derivata]].
== Differenziabilità in analisi complessa ==▼
{{vedi anche|funzione olomorfa}}▼
Sia <math>U</math> un [[insieme aperto|sottoinsieme aperto]] del [[piano complesso]] <math>\mathbb C</math>. Una funzione <math> f:U\to\mathbb C </math> è ''differenziabile in senso complesso'' (<math>\mathbb C</math>-differenziabile) in un punto <math>z_0 </math> di <math> U </math> se esiste il [[limite di una funzione|limite]]:▼
:<math>f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 } </math>▼
Il limite va inteso in relazione alla [[spazio topologico|topologia]] del piano. In altre parole, per ogni [[successione (matematica)|successione]] di numeri complessi che [[limite di una successione|convergono]] a <math>z_0</math> il [[rapporto incrementale]] deve tendere allo stesso numero, indicato con <math>f'(z_0) </math>. Se <math> f </math> è differenziabile in senso complesso in ogni punto <math>z_0 </math> di <math> U </math>, essa è una funzione olomorfa su <math> U </math>. Si dice inoltre che <math> f </math> è olomorfa nel punto <math>z_0</math> se è olomorfa in qualche intorno del punto, e che <math> f </math> è olomorfa in un insieme non aperto <math>A</math> se è olomorfa in un aperto contenente <math>A</math>.▼
La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa <math>f(z) \equiv f(x + iy)=u(x,y)+ i \, v(x,y)</math> è olomorfa allora <math> u </math> e <math> v </math> possiedono [[derivata parziale]] prima rispetto a <math> x </math> e <math> y </math> e soddisfano le [[equazioni di Cauchy-Riemann]]:▼
:<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\,</math>▼
In modo equivalente, la [[derivata di Wirtinger]] <math>\partial f / \partial\overline{z}</math> di <math>f</math> rispetto al [[complesso coniugato]] <math> \overline{z} </math> di <math> z </math> è nulla.▼
== Proprietà delle funzioni differenziabili ==
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:è continua ed ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che in <math>(0,0)</math> non siano continue impedisce la sua differenziabilità in <math>(0,0)</math>. Infatti, si verifica che il limite del rapporto incrementale calcolato nell'origine lungo una direzione qualsiasi esiste finito; ma prendendo in considerazione, ad esempio, le derivate parziali in [[coordinate polari]], si nota come non abbiano valore unico in un intorno di <math>(0,0)</math>, ma varino in funzione della direzione di avvicinamento all'origine.
:Tuttavia, se <math>F</math> è di [[classe C di una funzione|classe]] C<sup>1</sup> in un [[intorno]] di <math>\mathbf x_0</math>, cioè se esistono tutte le derivate parziali di F e queste sono [[funzioni continue]], allora <math>F</math> è differenziabile in <math>\mathbf x_0</math>. Vale quindi, se <math>\Omega\subseteq\mathbb{R}^n</math> è aperto, che <math>F\in C^1(\Omega)</math> implica la differenziabilità in <math>\Omega</math> che implica a sua volta che <math>F\in C^0(\Omega) </math>.
▲== Differenziabilità in analisi complessa ==
▲{{vedi anche|funzione olomorfa}}
▲Sia <math>U</math> un [[insieme aperto|sottoinsieme aperto]] del [[piano complesso]] <math>\mathbb C</math>. Una funzione <math> f:U\to\mathbb C </math> è ''differenziabile in senso complesso'' (<math>\mathbb C</math>-differenziabile) in un punto <math>z_0 </math> di <math> U </math> se esiste il [[limite di una funzione|limite]]:
▲:<math>f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 } </math>
▲Il limite va inteso in relazione alla [[spazio topologico|topologia]] del piano. In altre parole, per ogni [[successione (matematica)|successione]] di numeri complessi che [[limite di una successione|convergono]] a <math>z_0</math> il [[rapporto incrementale]] deve tendere allo stesso numero, indicato con <math>f'(z_0) </math>. Se <math> f </math> è differenziabile in senso complesso in ogni punto <math>z_0 </math> di <math> U </math>, essa è una funzione olomorfa su <math> U </math>. Si dice inoltre che <math> f </math> è olomorfa nel punto <math>z_0</math> se è olomorfa in qualche intorno del punto, e che <math> f </math> è olomorfa in un insieme non aperto <math>A</math> se è olomorfa in un aperto contenente <math>A</math>.
▲La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa <math>f(z) \equiv f(x + iy)=u(x,y)+ i \, v(x,y)</math> è olomorfa allora <math> u </math> e <math> v </math> possiedono [[derivata parziale]] prima rispetto a <math> x </math> e <math> y </math> e soddisfano le [[equazioni di Cauchy-Riemann]]:
▲:<math>\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\,</math>
▲In modo equivalente, la [[derivata di Wirtinger]] <math>\partial f / \partial\overline{z}</math> di <math>f</math> rispetto al [[complesso coniugato]] <math> \overline{z} </math> di <math> z </math> è nulla.
== Approssimazioni ==
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