Doppio pendolo: differenze tra le versioni

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Il '''doppio pendolo''' è un sistema [[fisica|fisico]] costituito da due [[pendolo|pendoli]] attaccati uno all'estremità dell'altro. Il suo comportamento dinamico è fortemente sensibile a piccole variazioni delle [[condizioni iniziali]] e, per alcuni valori dell'[[energia]], il suo moto è [[Sistema caotico|caotico]].

==Analisi==

Si possono considerare diverse varianti del doppio pendolo; i due bracci possono avere lunghezze e masse uguali o diverse, possono essere [[pendolo semplice|pendoli semplici]] o [[pendolo composto|composti]] (detti anche pendoli complessi) e il moto può avvenire in tre dimensioni o limitato al solo piano verticale. Nella seguente analisi, i bracci sono considerati due pendoli composti identici di lunghezza <math>\ell</math> e le masse <math>m</math>, e il moto è limitato ad un piano.

[[File:Double-compound-pendulum-dimensioned.svg|right|thumb|200px|Doppio pendolo composto, formato da due bracci identici di lunghezza <math>\ell</math> e massa <math>m</math>.]]

In un pendolo composto, la massa è distribuita su tutta la lunghezza. Se la massa è distribuita uniformemente, allora il [[centro di massa]] di ogni braccio si trova alla sua metà, ed il [[momento di inerzia]] rispetto a tale punto è <math>\textstyle I=\frac{1}{12} m \ell^2</math>. Il momento di inerzia di una sbarra che ruota intorno ad uno dei suoi estremi è dato da <math>\textstyle I=\frac{1}{3} m \ell^2</math>.

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{{No footnotes|date=April 2010}}

In [[mathematics]], in the area of [[dynamical systems]], a '''double pendulum''' is a [[pendulum]] with another pendulum attached to its end, and is a simple [[physical system]] that exhibits rich [[dynamical systems|dynamic behavior]] with a strong sensitivity to initial conditions. The motion of a double pendulum is governed by a set of coupled [[ordinary differential equation]]s. For certain [[energy|energies]] its motion is [[chaos theory|chaotic]].

==Analysis==

Several variants of the double pendulum may be considered; the two limbs may be of equal or unequal lengths and masses, they may be [[simple pendulum]]s or [[compound pendulum]]s (also called complex pendulums) and the motion may be in three dimensions or restricted to the vertical plane. In the following analysis, the limbs are taken to be identical compound pendulums of length <math>\ell</math> and mass <math>m</math>, and the motion is restricted to two dimensions.

[[Image:Double-compound-pendulum-dimensioned.svg|right|thumb|200px|Double compound pendulum.]]

In a compound pendulum, the mass is distributed along its length. If the mass is evenly distributed, then the centre of mass of each limb is at its midpoint, and the limb has a [[moment of inertia]] of <math>\textstyle I=\frac{1}{12} m \ell^2</math> about that point. The moment of inertia of a rod rotating around an axis attached to one of its ends equals <math>\textstyle I=\frac{1}{3} m \ell^2</math>.

È utile usare l'angolo tra ciascuno dei bracci e l'asse verticale come [[coordinate generalizzate|coordinata generalizzata]] per definire lo [[spazio delle configurazioni]]; questi angoli sono indicati con θ₁ e θ₂. La posizione del centro di massa di ogni braccio può essere scritta in funzione di queste due coordinate; se si prende come origine di un [[sistema di riferimento cartesiano]] il punto di sospensione del primo pendolo, allora le coordinate del centro di massa di questo pendolo sono

It is convenient to use the angle between each limb and the vertical as the [[generalized coordinates]] defining the [[configuration space|configuration]] of the system. These angles are denoted θ₁ and θ₂. The position of the centre of mass of each rod may be written in terms of these two coordinates. If the origin of the [[Cartesian coordinate system]] is taken to be at the point of suspension of the first pendulum, then the centre of mass of this pendulum is at:

:<math>

x_1 = \frac{\ell}{2} \sin \theta_1,

</math>

:<math>

y_1 = -\frac{\ell}{2} \cos \theta_1,

</math>

mentre per il secondo pendolo si ha

and the centre of mass of the second pendulum is at

:<math>

x_2 = \ell \left ( \sin \theta_1 + \frac{1}{2} \sin \theta_2 \right ),

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y_2 = -\ell \left ( \cos \theta_1 + \frac{1}{2} \cos \theta_2 \right ).

</math>

Con queste informazioni si può scrivere la [[lagrangiana]] del sistema

This is enough information to write out the Lagrangian.

<!--

===Lagrangian===