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Metodi Iterativi per la soluzione di sistemi lineari |
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I metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari
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x^{(k)}=x_v \Leftrightarrow x^{(k)}=x^{(k+1)}
</math>
== Metodi iterativi convergenti e consistenti ==
Si pone il problema di <i>costruire</i> dei metodi iterativi per risolvere
<math>Ax=b</math> che siano consistenti e convergenti.
Ebbene, esiste una formula che, sotto opportune condizioni, permette di
costruire una <i>famiglia</i> di metodi iterativi. Questa formula (dovuta
a Wittmeyer) e' il paradigma dei metodi iterativi per risolvere sistemi
lineari.
La <i>formula-modello</i> in questione e' la seguente:
<math>
x^{(k+1)}=x^{(k)}+M(Ax^{(k)}-b)
</math>
Per ogni scelta della matrice <math>M</math> o della matrice
<math>B:=I+MA</math> che e' detta <b>matrice di iterazione</b>,
si ottiene un particolare metodo iterativo.
=== Condizioni di consistenza e convergenza ===
Si puo' dimostrare che la formula:
<math>
x^{(k+1)}=x^{(k)}+M(Ax^{(k)}-b)
</math>
con l'ipotesi che <math>M</math> sia non singolare
(<math>\det(M)\neq 0</math>) <b>e</b> che il raggio spettrale di <math>B</math> sia strettamente minore di 1 (<math>\rho(B)<1</math>), fornisce
metodi iterativi convergenti e consistenti.
Piu' precisamente si dimostrano queste due proprieta' per una <i>qualsiasi</i> successione <math>x^{(k)}</math> generata dalla formula-modello:
<math>\det(M)\neq 0 \Leftrightarrow x^{(k)}</math> consistente esclusivamente
<math>\rho(B)<1 \Leftrightarrow \lim_{k\leftarrow\infty} x^{(k)}=x_v</math>
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