Integrale di linea: differenze tra le versioni

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== Calcolo vettoriale ==

{{Vedi anche|integraleIntegrale di linea di prima specie|Integrale di linea di seconda specie}}

In termini qualitativi, un integrale di linea nel calcolo vettoriale può essere pensato come la misura di un effetto di un dato [[campo vettoriale]] lungo una certa curva.

=== Definizione ===

{{Vedi anche|integrale di linea di prima specie|Integrale di linea di seconda specie}}

Dato un [[campo scalare]] <math> f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>, si definisce l'integrale di linea su una curva <math>C</math>, parametrizzata da <math>\mathbf{r}(t)</math>, con <math>t \in [a, b]</math>, come:<ref>{{Cita web

|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Curvilinear_integral

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=== Indipendenza dal cammino ===

{{Vedi anche|Teorema del gradiente}}

Se un campo vettoriale <math>\mathbf{F}</math> è il [[gradiente]] di un campo scalare <math>G</math>, cioè:

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A parole, l'integrale di <math>\mathbf{F}</math> lungo <math>C</math> dipende solamente dai valori nei punti <math>\mathbf{r}(b)</math> e <math>\mathbf{r}(a)</math>, ed è quindi indipendente dal cammino particolare. Per questa ragione, un campo vettoriale che è il gradiente di un campo scalare è detto ''cammino indipendente''.

L'integrale di linea è spessolargamente usato in fisica, spesso nella descrizione di [[campo di forze|campi di forze]] [[Campo vettoriale conservativo|conservativi]]. Per esempio, il lavoro <math>W=\vecmathbf F\cdot\vecmathbf s</math> svolto su una particella che si muove su una curva <math>C</math> in un campo di forze rappresentato da un campo vettoriale <math>\mathbf{F}</math> è l'integrale di linea di <math>\mathbf{F}</math> lungo <math>C</math>:

:<math>W=\int_C \vecmathbf F\cdot \operatorname d\vecmathbf s</math>

== Analisi complessa ==