Ultimo teorema di Fermat: differenze tra le versioni

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Versione delle 19:20, 27 dic 2012

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# [[Leonhard Euler|Eulero]], che, nel [[XVIII secolo]], formulò una dimostrazione valida solo per ''n=3'',

# [[Adrien-Marie Legendre]], che risolse il caso ''n=5'',

# [[Sophie Germain]], che, lavorando sul teorema, ''scoprì'' che esso era probabilmente vero per '''''n''''' uguale ada un particolare [[numero primo]] '''''p''''', tale che '''''2p + 1''''' è anch'esso primo: i [[Numero primo di Sophie Germain|primi di Sophie Germain]].

Solo nel [[1994]], dopo 7 anni di dedizione completa al problema, e dopo un "falso allarme" nel [[1993]], [[Andrew Wiles]], affascinato dal teorema che fin da bambino sognava di risolvere, riuscì a dare finalmente una dimostrazione. Da allora ci si può riferire all'ultimo teorema di Fermat come al '''teorema di Fermat - Wiles'''.<br />

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== La dimostrazione ==

Utilizzando sofisticati strumenti della [[geometria algebrica]] (in particolare [[curva ellittica|curve ellittiche]] e [[forme modulari]]), della [[teoria di Galois]] e dell'[[algebra di Hecke]], [[Andrew Wiles]], dell'[[università di Princeton]], con l'aiuto del suo primo studente [[Richard Taylor (matematico)|Richard Taylor]], diede una dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat, pubblicata nel [[1995]] sulla rivista ''[[Annals of mathematics]]''. Nel [[1986]], [[Ken Ribet]] aveva dimostrato la [[congettura epsilon]] di [[Gerhard Frey]] secondo la quale ogni contro-esempiocontroesempio ''a''^''n'' + ''b''^''n'' = ''c''<sup>''n''</sup > all'ultimo teorema di Fermat avrebbe prodotto una curva ellittica definita come: <div style="text-align:center;"><math>y^2 = x \cdot (x - a^n) \cdot (x + b^n),</math></div> che fornirebbe un contro-esempio alla [[congettura di Taniyama - Shimura]].

Quest'ultima congettura propone un collegamento profondo fra le curve ellittiche e le forme modulari. Wiles e Taylor potevano stabilire un caso speciale della congettura di Taniyama-Shimura sufficiente per escludere tali contro-esempi in seguito all'ultimo teorema di Fermat.

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Ci sono seri dubbi riguardo alla rivendicazione di Fermat di aver trovato una dimostrazione veramente importante, che fosse corretta.

La dimostrazione di [[Andrew Wiles|Wiles]], di circa 200 pagine nella prima dimostrazione, ridotte a 130 nella versione definitiva, è considerata unanimemente al di là della comprensione della maggior parte dei matematici di oggi. Spesso le dimostrazioni iniziali della maggior parte dei risultati non sono tipicamente le più dirette ed è quindi possibile che, data la complessità, possa esistere una dimostrazione più sintetica ed elementare. Non è però verosimile che la dimostrazione di Wiles possa essere semplificata in maniera significativa, soprattutto fino ada essere esprimibile con gli strumenti matematici posseduti da Fermat.

I metodi utilizzati da Wiles erano difatti sconosciuti quando Fermat scriveva e pare estremamente improbabile che Fermat sia riuscito a derivare tutta la matematica necessaria per dimostrare una soluzione. Andrew Wiles stesso ha affermato "''è impossibile; questa è una dimostrazione del [[XX secolo]]''".

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Questa è una spiegazione accettabile per molti esperti della [[teoria dei numeri]], considerando anche che molti dei maggiori matematici successivi che hanno lavorato sul problema hanno seguito questo percorso e talvolta hanno anche sinceramente creduto di aver dimostrato il teorema, salvo successivamente dover ammettere di avere fallito.

Il fatto che Fermat non abbia pubblicato, né comunicato a qualche amico o collega, nemmeno un'enunciazione circa l'esistenza di una dimostrabilità (come invece faceva di solito per le sue soluzioni), può essere un forte indizio di un suo successivo ripensamento, dovuto ada una tardiva scoperta di un errore nel suo tentativo di dimostrazione. Fermat, inoltre, pubblicò successivamente un suo lavoro di dimostrazione per il caso speciale ''n''=4 (ovvero <math>a^4 + b^4 = c^4</math>). Se realmente avesse ancora ritenuto di possedere una dimostrazione completa per il teorema, non avrebbe pubblicato un tale lavoro parziale, indice che la ricerca non era per lui conclusa.

Altri dopo di lui, con fatica, dimostrarono il teorema per numeri singoli, furono senz'altro eventi notevoli, ma limitati nella realtà; l'approccio non poteva essere risolutivo dato che per definizione i numeri sono infiniti, necessitava quindi un procedimento che permettesse la generalizzazione della dimostrazione.