Operatore differenziale: differenze tra le versioni

Versione delle 10:53, 26 ott 2012

Versione delle 16:34, 31 dic 2012

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In [[matematica]] un '''operatore differenziale''' è un [[operatore]], solitamente [[trasformazione lineare|lineare]], definito come una funzione dell'operatore [[derivata|differenziazione]].

==Notazioni==

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:<math>\Theta = z {d \over dz}.</math>

==Operatori differenziali lineari==

==Operatore aggiunto==

Un operatore differenziale lineare è un particolare [[operatore differenziale]] che agisce come una [[trasformazione lineare]], cioè conserva le operazioni di somma e prodotto. Le nozioni che valgono per gli operatori lineari sono validi particolarmente per gli operatori differenziali lineari che sono una parte importante degli operatori lineari. Un operatore differenziale lineare può essere scritto nella forma più generale:

:<math>A = \sum_{n=0}^{N} c_n (x) \frac{d^n}{dx^n}</math>

che applicato ad un elemento dello [[spazio funzionale]] <math>f(x)</math>:

:<math>A f(x)= \sum_{n=0}^{N} c_n (x) \frac{d^n f(x)}{dx^n}</math>

In generale un operatore è rappresentato da una matrice quadrata e il prodotto scalare <math>\langle g|Af \rangle</math> è un elemento della matrice.

===Proprietà===

Valgono le proprietà della somma e del prodotto per un numero sono identiche a quelle vettoriali. Le loro proprietà sono:

:# <math>D (afA+B) f = a (Df)Af \+ Bf</math>

:# <math>D (f+g)A =\cdot (DfB) +f = A(DgBf) \ </math>

# <math>(AB)C = A(BC)</math>

# <math>A(B+C) = AB + AC</math>

Come nel caso delle matrici in generale il prodotto tra operatori differenziali lineari non è commutativo:

:<math>AB \ne BA</math>

Definendo [[commutatore]]:

:<math>AB - BA = [A,B]</math>

possiamo dire che due operatori commutano se e solo se: <math>[A,B]=0</math>.

===Potenza===

Definiamo '''potenza ennesima''' di un operatore:

:<math>F(A) = \sum_{n=0}^{\infty} F_n A^n</math>

se la funzione <math>F(A)</math> è sviluppabile in serie di potenze:

:<math>F(t) = \sum_{n=0}^{\infty} F_n t^n</math>

===Operatore aggiunto===

{{vedi anche|Operatore aggiunto}}

Dato un operatore lineare differenziale:

: <math>Tu = \sum_{k=0}^n a_k(x) D^k u</math>

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==Proprietà degli operatori differenziali==

Molte proprietà degli operatori differenziali sono conseguenza delle proprietà delle [[derivata|derivate]], che sono lineari

: <math>D (f+g) = (Df) + (Dg) \ </math>

: <math>D (af) = a (Df) \ </math>

dove ''f'' e ''g'' sono funzioni e ''a'' è una costante.

Ogni polinomiale in ''D'' con coefficienti funzionali è ancora un operatore differenziale. Si possono comporre operatori differenziali con la regola