Risposta libera: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
wikificare |
Nessun oggetto della modifica |
||
Riga 4:
Nel caso dei [[sistemi dinamici lineari tempo invarianti]], nell'ipotesi che la matrice A sia diagonalizzabile con autovalori reali si è dimostrato
che la risposta libera nello stato risulta :
<math>x_{l}(t)=Pe^{\lambda(t-t_{0})}P^{-1}x(t_{0})</math> dove le colonne della matrice P sono gli autovettori <math>v_1,v_2,...,v_n</math> di A relativi agli autovalori distinti <math>\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n</math>▼
<math>x_{l}(t)=Pe^{\lambda(t-t_{0})}P^{-1}x(t_{0})</math>
▲
Posto <math>t_0=0</math> si può scrivere:
<math>x_{l}(t)=\left(\begin{array} {cccc}
v_{11} & v_{21} & \cdots & v_{n1} \\
Riga 33 ⟶ 37:
La risposta libera si può quindi esprimere come la sovrapposizione di più modi.
In particolare si nota che nell'ipotesi che lo stato iniziale x(0) coincide con l'autovettore <math>\alpha_i(0)v_i</math> allora si ha :
<math>P^{-1}x(0)=P^{-1}\alpha_i(0)v_i=\left(\begin{array} {c}
0 \\
Riga 42 ⟶ 47:
0 \\
\end{array}\right)</math>
e quindi soltanto il modo i-esimo risulta eccitato.Pertanto la traiettoria è la retta individuata dall'autovettore <math>v_i</math>
Nel caso di A matrice 2 per 2 con una coppia di autovalori complessi coniugati si ha per quanto visto nei [[[sistemi dinamici lineari tempo invarianti]]]
sempre nell'ipotesi che <math>t_0=0</math> e che T sia la matrice le cui colonne sono parte reale e parte immaginaria dei 2 autovettori complessi coniugati:
<math>x_l(t)=Te^{\alpha t}\left(\begin{array}{cc}
\cos \omega t & \sin \omega t \\
-\sin \omega t & \cos \omega t
\end{array}\right)T^{-1}x(0)</math>
Posto <math>x(0)=T\left(\begin{array} {c}
M\sin\beta \\
Riga 55 ⟶ 63:
\end{array}\right)</math>
si ha :
<math>x_{l}(t)=\left(\begin{array} {cc}
v_{11} & v_{21} \\
| |||