Logicismo: differenze tra le versioni
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Frege incontrò un certo successo nello sviluppo di un linguaggio simbolico capace di [[Sistema formale|formalizzare]] i ragionamenti: tale linguaggio "ideografico", che si rifaceva ai primi approcci alla formalizzazione intrapresi da [[George Boole]] e faceva uso di strumenti concettuali simili a quelli della [[Teoria ingenua degli insiemi|teoria intuitiva degli insiemi]] di [[Georg Cantor]] fu esposto da Frege nel suo libro ''Ideografia''.
Nella teoria semantica di Frege, i predicati denotano concetti: funzioni unarie particolari (il cui codominio contiene solo valori di verità). Per tutti i predicati (o proprietà) vale il seguente assioma di comprensione. <br>
Mentre stava scrivendo il secondo volume dei ''Principi dell'aritmetica'', il libro in cui procedeva alla vera e propria riduzione alla logica dei concetti basilari dell'aritmetica stessa, Frege ricevette una lettera in cui [[Bertrand Russell]], uno dei pochi a dimostrare interesse per il programma dell'oscuro pensatore tedesco all'inizio del Novecento, gli comunicava un'[[antinomia]] fondamentale che vanificava la sua intera opera, dimostrando la contraddittorietà di uno degli assiomi su cui si era basato. L'antinomia è oggi nota con il nome di [[paradosso di Russell]]. Frege non si sarebbe più ripreso dal colpo infertogli da Russell e per il resto della sua vita si sarebbe tenuto lontano dal problema dei fondamenti della matematica. La conseguenza del paradosso di Russell è che la [[teoria degli insiemi]] sviluppata da [[Georg Cantor]] e utilizzata da Frege può essere dimostrata internamente contradittoria tramite la definizione di un insieme molto particolare: l'insieme che contiene tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elementi (''"The set of all sets that do not contain themselves as members"''). La definizione di questo insieme porta al paradosso che questo insieme contiene e non contiene se stesso, dimostrando che la definizione di insieme di Frege non poteva essere usata come fondamento certo della definizione del concetto di numero e quindi della matematica.▼
Assioma di comprensione: assegnazione necessaria a un concetto di una rispettiva "estensione": l'insieme degli oggetti cui il concetto è attribuibile veridicamente; e che è l'insieme vuoto ∅ se il concetto è contraddittorio (ad esempio:‘essere diverso da se stesso’). <br>Dopodiché, Frege definisce il concetto di equinumerosità ‘avere lo stesso numero di oggetti’: due insiemi sono equinumerosi se collegati da una corrispondenza biunivoca (ad ogni elemento del primo corrisponde uno e uno solo elemento del secondo; e viceversa). A questo punto, Frege definisce "numero di un dato insieme" come l'insieme di tutti gli insiemi equinumerosi a quello dato.
L'assioma di assegnar un'estensione a un concetto equivale a garantire l'esistenza di oggetti che cadono sotto di esso, perciò esiste almeno un ente matematico, lo zero, come l'insieme di tutti gli insiemi equinumerosi all'insieme vuoto che è l'estensione di qualsiasi concetto contraddittorio. Ciò dimostra anche l'infinità dei numeri naturali: poiché lo zero è un oggetto logico, esso è considerabile come elemento, ma allora esiste anche il numero uno come l'insieme di tutti gli insiemi equinumerosi all'insieme ‘zero’ di tutti gli insiemi equinumerosi all'insieme vuoto, che era l'estensione di un concetto contraddittorio dato). E se esistono lo zero e l'uno, allora esistono almeno due oggetti logici procedendo come sopra. E se esistono lo zero, l'uno, e il due, allora esistono almeno tre oggetti logici; e così si procede all'infinito.
Frege crede di aver raggiunto dunque gli obbiettivi di garantire l'esistenza di infiniti enti matematici definiti solo da ingredienti logici, con cui è dunque possibile procedere a dimostrare verità aritmetiche.
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===Il tentativo di Russell===
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