Logicismo: differenze tra le versioni
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Approfondendo l'antinomia da lui scoperta, Russell giunge al problema dell'esistenza degli enti matematici. Che senso ha l'espressione «esiste un numero (un insieme, etc.) che gode di una determinata proprietà»? Il quesito suscita un contrasto tra una concezione descrittiva (per cui l'ente matematico esiste indipendentemente dai metodi per individuarlo) e una concezione costituiva (per cui l'ente matematico è il risultato di atti o processi dell'attività razionale) della matematica.
Ebbene, [[Poincaré]] chiama "impredicative" le definizioni che fanno riferimento alla totalità a cui l'ente da definire appartiene; e "predicative" le definizioni che non vi fanno riferimento.
Il processo definitorio delle definizioni impredicative (che individua un ente riferendosi a totalità alle quali l'ente appartiene) è un problema in una concezione costitutiva, riferendosi a qualcosa di non ancora costruito.<br>
Per evitar definizioni impredicative (e relative fallacie dell'autoriferimento) Russell elabora una teoria dei tipi: gerarchie di livelli degli enti logici, organizzati dai più semplici ai più complessi, definiti riferendosi ad enti già dati.
(Livello 0: gli elementi. Livello 1: gli insiemi di elementi. Livello 2: gli insiemi di insiemi di elementi. E così via). <br>In tale teoria vale il principio del circolo vizioso: nessuna totalità può contener elementi definiti in termini di se stessa. Il problema del sistema logico che Russell è la sua debolezza: senza definizioni impredicative, la matematica costruibile su tale base logica è limitata; e richiede assiomi (come quello dell'infinito) estranei allo spirito sia predicativista sia logicista di partenza.
La riduzione logicista (che venne chiamata [[teoria dei tipi]]) fu raggiunta da Russell a costo di alcune forzature, che negli anni a seguire provocarono il progressivo disfacimento del sistema eretto nei ''Principia''. Punti deboli della sistemazione russelliana si rivelarono:
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