Logicismo: differenze tra le versioni
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Frege crede di aver raggiunto dunque gli obbiettivi di garantire l'esistenza di infiniti enti matematici definiti solo da ingredienti logici, con cui è dunque possibile procedere a dimostrare verità aritmetiche.
Ma è lecito porre come assioma necessario il passaggio da un concetto alla sua estensione? E dal fatto che l'estensione di un concetto coincide con quella di un altro concetto, si può concludere che ogni oggetto che cade sotto il primo concetto cade anche sotto il secondo? Ebbene: il 16 giugno 1902, mentre stava scrivendo il secondo volume dei ''Principi dell'aritmetica'', il libro in cui procedeva alla vera e propria riduzione alla logica dei concetti basilari dell'aritmetica stessa, Frege ricevette una lettera in cui [[Bertrand Russell]], uno dei pochi a dimostrare interesse per il programma dell'oscuro pensatore tedesco all'inizio del Novecento, gli comunicava un'[[antinomia]] fondamentale che vanificava la sua intera opera, dimostrando la '''contraddittorietà dell'assioma di comprensione''' su cui Frege si era basato. L'antinomia è oggi nota con il nome di [[paradosso di Russell]]. Frege non si sarebbe più ripreso dal colpo infertogli da Russell e per il resto della sua vita si sarebbe tenuto lontano dal problema dei fondamenti della matematica. La conseguenza del paradosso di Russell è che la [[teoria degli insiemi]] sviluppata da [[Georg Cantor]] e utilizzata da Frege può essere dimostrata internamente contradittoria tramite la definizione di un insieme molto particolare: l'insieme che contiene tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elementi (''"The set of all sets that do not contain themselves as members"''). La definizione di questo insieme porta al paradosso che questo insieme contiene e non contiene se stesso, dimostrando che la definizione di insieme di Frege non poteva essere usata come fondamento certo della definizione del concetto di numero e quindi della matematica.
===Il tentativo di Russell===
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