Circuito RC: differenze tra le versioni

Versione delle 15:33, 13 dic 2006

Versione delle 17:11, 13 dic 2006

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:(1)<math>\;\;R \cdot I(t) + V_c(t) = 0</math>

dove <math>I(t)</math> è la [[corrente elettrica]] circolante. La reazionerelazione caratteristica del condensatore è ben nota:

:(2)<math>\;\;I(t) = C \cdot \frac{d V_c(t)}{dt}</math>

Riga 45:

:<math>I(\tau) = \frac{1}{e}</math>

==Circuito RC con generatore di tensione costante==

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Ipotizziamo che il generatore di tensione <math>(V_in)V_0 </math> si costante nel tempo, possiamo scrivere l'equazione di Kirchoff alladelle magliatensioni:

:(6)<math>\quad V_0 = R \cdot I(t) + V_c(t)</math>

dove <math>I(t)</math> è la [[corrente elettrica]] circolante. Sostituendo la relazione caratteristica del condensatore (2), la (6) diventa un'[[Equazione differenziale|equazione differenziale non omogenea del primo ordine]]:

:(7)<math>\quad V_0 = R C \cdot \frac{d V_c(t)}{dt} + V_c(t) \; \rightarrow \; \frac{d V_c(t)}{dt} + \frac{1}{\tau} V_c(t) = \frac{V_0}{\tau}</math>

dove <math>\tau = RC</math> è al costante di tempo del circuito. Dalla teoria delle equazioni differenziali la sua soluzione è:

:(8)<math>\;\;V_c(t) = \left(V_c(0) - V_0 \right) \cdot e^{-t /\tau} + V_0</math>

La corrente segue la:

:(9)<math>\;\;I(t) = C \cdot \frac{dV_c(t)}{dt} = - \frac{V_c(0) - V_0}{R} \cdot e^{-t / \tau}</math>

Fisicamente la presenza della tensione costante del generatore induce che la tensione ai capi di ''C'' <math>V_c(t)</math> cresca esponenzialmente partendo da <math>V_c(t=0) = V_c(0)</math> fino a tendere al valore della tensione costante del generatore. Dunque per <math>t \to \infty</math> si ha che <math>V_c(t) \to V_0</math>. Viceversa la corrente indotta nel circuito è esponenzialmente decrescente da un valore iniziale <math>\frac{V_c(0)}{R}</math> fino a tendere al valore costante <math>I = \frac{V_0}{R}</math>.

Quando al tendere di <math>t \to \infty</math> la tensione <math>V_c(t) \to V_0 = cost</math>, il circuito si comporta come un [[Circuito aperto|circuito aperto]]. A regime di tensione costante un qualsiasi circuito composto da un numero arbitrario di resistenze e di generatori di tensione costante e da un condensatore può essere quantitativamente studiato utilizzando questa proprietà, cioè supponendo che il circuito in corrispondenza del condensatore sia aperto.

In particolare la risposta del circuito RC ad una tensione costante è composta di due parti:

:<math>\left(V_c(0) - V_0 \right) e^{-t/ \tau}</math> si chiama risposta transitoria o transiente del circuito;

:<math>V_0</math> si chiama risposta permanente o a regime del circuito.

==Circuito RC con risposta al gradino e all'impulso==

*Da fare

==Circuito RC con risposta a segnale sinusoidale==

<math>V_{in} - V_r - V_{out} = 0 \Rightarrow </math>

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Che ha come '''forma d'onda di risposta una rampa''' e non più una curva esponenziale come quando viene caricato a tensione costante.

== Circuito RC in regime sinusoidale ==

= Risposta nel dominio delle frequenze =

Applichiando la [[trasformata di Laplace]] al circuito serie (generatore di tensione, resistenza, capacità) e prelevando l'uscita in parallelo al condesatore: