Equazione differenziale alle derivate parziali parabolica: differenze tra le versioni
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Un<nowiki>'</nowiki>'''equazione differenziale alle derivate parziali parabolica''' è un tipo di [[equazione differenziale alle derivate parziali]] (EDP) che può essere usata per descrivere diversi problemi scientifici come la [[equazione del calore|diffusione del calore]], o la diffusione delle onde sonore in acqua, in sistemi fisici e matematici con variabile temporale e che si comportano come la diffusione del calore all'interno di un solido.
Esempi di EDP paraboliche sono l'[[equazione del calore]] e il [[flusso di Ricci]].
Una EDP della forma▼
==Definizione==
▲Una EDP della forma:
: <math>A \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + B\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y} + C\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + D\frac{\partial u}{\partial x} + E\frac{\partial u}{\partial y} + F = 0</math>
è parabolica se soddisfa la condizione:
:<math>B^2 - 4AC = 0</math>
Questa definizione è analoga a quella di una [[parabola]] nel piano in [[geometria analitica]].
Un semplice esempio di EDP parabolica è l'[[equazione del calore]] nel caso unidimensionale:
:<math>\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math>
dove <math>u(t,x)</math> è la [[temperatura]] al tempo <math>t</math> e alla posizione <math>x</math>, e <math>k</math> è costante. Il simbolo <math>\frac{\partial u}{\partial t}</math> rappresenta la [[derivata parziale]] rispetto al tempo e allo stesso modo <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> è la derivata parziale seconda rispetto a <math>x</math>.▼
dove <math>u(t,x)</math> è la [[temperatura]] al tempo <math>t</math> e alla posizione <math>x</math>, e <math>k</math> è costante.
In parole povere quest'equazione stabilisce che la temperatura di un dato punto a un determinato istante crescerà o scenderà con un tasso proporzionale alla differenza tra la temperatura a quel punto e la temperatura media attorno al punto. La quantità <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}</math> indica quanto la temperatura è distante dal soddisfare la proprietà del valor medio delle [[funzione armonica|funzioni armoniche]].▼
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Una generalizzazione dell'equazione del calore è:
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:<math>\frac{\partial u}{\partial t} = Lu</math>
dove <math>L</math> è un [[operatore ellittico]] del second'ordine (ciò implica che <math>L</math> sia anche [[operatore positivo|positivo]]; il caso in cui <math>L</math> è non-positivo è descritto sotto). Un sistema di questo tipo può essere nascosto in un'equazione della forma
:<math>\nabla \cdot (a(x) \nabla u(x)) + b(x)^T \nabla u(x) + cu(x) = f(x)</math>
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se la funzione [[matrice|matriciale]] <math>a(x)</math> ha un [[nucleo (matematica)|nucleo]] di dimensione 1.
===Soluzione===
Le EDP paraboliche di cui si è discusso hanno soluzione per ogni <math>x</math>, <math>y</math> e <math>t>0</math>. Un'equazione della forma
:<math>\frac{\partial u}{\partial t} = Lu</math> si considera parabolica se <math>L</math> è funzione (eventualmente non lineare) di <math>u</math> e delle sue [[derivata|derivate]] prima e seconda, con altre condizioni su <math>L</math>. Con in tale tipo di equazione parabolica non lineare, esistono soluzioni per un periodo di tempo limitato: le soluzioni potrebbero dare luogo a [[singolarità]] anche per tempi finiti. La difficoltà dunque è determinare le soluzioni per tutto l'arco temporale, o più generalmente studiare le singolarità che sorgono. Questo è in generale abbastanza difficile, come nella soluzione della [[congettura di Poincaré]] attraverso il [[flusso di Ricci]]. ==Equazioni paraboliche all'indietro==
Si potrebbero considerare EDP della forma:
Si potrebbero considerare EDP della forma <math>\frac{\partial u}{\partial t} = -Lu</math>, dove <math>L</math> è un operatore ellittico positivo. Questi problemi non sono necessariamente [[problema ben posto|ben posti]] (le soluzioni potrebbero non esistere o crescere indefinitamente in tempi finiti), essi occorrono studiando la riflessione delle singolarità delle soluzioni a EDP diverse.<ref>{{Cita libro| nome=M. E. | cognome=Taylor | titolo=Reflection of singularities of solutions to systems of differential equations | journal=Comm. Pure Appl. Math. | volume=28 | issue=4 | anno=1975 | pagine=457–478 | doi=10.1002/cpa.3160280403 }}</ref>▼
:<math>\frac{\partial u}{\partial t} = -Lu</math>
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Queta classe di equazioni è abbastanza legata alle normali [[equazione alle derivate parziali iperbolica|equazioni iperboliche]], che possono essere viste semplicemente considerando le ocsiddette ''equazioni del calore all'indietro'':
:<math>\begin{cases} u_{t} = \Delta u & \textrm{su} \ \ \Omega \times (0,T)
Questa è essenzialmente la stessa cosa che avviene per le equazioni iperboliche ''all'indietro'':
:<math>\begin{cases} u_{t} = -\Delta u & \textrm{su} \ \ \Omega \times (0,T)
== Voci correlate ==▼
*[[Equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica]]▼
*[[Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica]]▼
== Note ==
<references/>
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== Bibliografia==
*{{Cita libro | cognome=Evans | nome=Lawrence C. | titolo=Partial differential equations | annooriginale=1998 | url=http://www.ams.org/bull/2000-37-03/.../S0273-0979-00-00868-5.pdf | editore=[[American Mathematical Society]] | città=Providence, R.I. | edizione=2nd | series=Graduate Studies in Mathematics | id=ISBN 978-0-8218-4974-3 | id={{MathSciNet | id = 2597943}} | anno=2010 | volume=19}}
▲== Voci correlate ==
▲*[[Equazione differenziale alle derivate parziali iperbolica]]
▲*[[Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica]]
[[Categoria:Equazioni alle derivate parziali]]
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