Funzione gamma incompleta: differenze tra le versioni
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:<math> \gamma(a,x)=a^{-1} x^{a} e^{-x} M(1,1+a,x) </math>
==Le derivate==
La derivate della funzione <math> \Gamma (a,x) </math> superiore e incompleta rispetto alla variabile ''x'' e’ ben nota. Essa e’ semplicemente data dall’integranda della funzione integrale presente nella sua definizione, ovvero:
:<math>
\frac{\partial \Gamma (a,x) }{\partial x} = - x^{a-1} e^{-x}
</math>
La derivata rispetto alla prima variabile invece è data da<ref>K.O Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore e T.C. Scott, ''Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions'', AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp.149-165, [http://www.springerlink.com/content/t7571u653t83037j/]</ref>
:<math> \frac{\partial \Gamma (a,x) }{\partial a} = \ln (x) \Gamma (a,x) + x ~T(3,a,x) </math>
mentre la derivate seconda è data da
:<math> \frac{\partial^2 \Gamma (a,x) }{\partial a^2} = \ln^2 (x) \Gamma (a,x) + 2 x ~ ( \ln (x) ~ T(3,a,x) + T(4,a,x) ) </math>
dove la funzione <math>T(m,a,x)</math> è un caso speciale della [[Funzione G di Meijer|G-funzione di Meijer]]:
:<math> T(m,a,z) = G_{m-1, m}^{~m,~0} \left( x \left| \begin{array}{c} 0,0, \ldots 0 \\ -1, -1, \ldots, a-1, -1 \end{array} \right. \right) ~.
</math>
Questo particolare caso speciale ha la proprietà di essere chiuso internamente ovvero può essere usato per esprimere tutte le derivate successive. In generale si ha che
:<math> \frac{\partial^m \Gamma (a,x) }{\partial a^m} = \ln^m (x) \Gamma (a,x) + m x ~ \sum_{i=0}^{m-1} P_i^{m-1} \ln^{m-i-1} (x) ~ T(3+i,a,x) </math>
dove <math>P_j^i</math> è la [[permutazione]] definita attraverso il [[Fattoriale crescente|simbolo di Pochhammer]], ovvero
:<math>
P_j^i = \left( \begin{array}{l} i \\ j \end{array} \right) j! = \frac{i!}{(i-j)!} ~ .
</math>
Tutte le derivate possono essere ottenute in successione partendo da
:<math> \frac{\partial T (m,a,x) }{\partial a} = \ln (x) ~ T(m,a,x) + (m-1) T(m+1,a,x) </math>
e
:<math> \frac{\partial T (m,a,x) }{\partial x} = -\frac{1}{x} (T(m-1,a,x) + T(m,a,x)) </math>
La funzione ''T(m,a,x)'' può essere calcolata usando la sua rappresentazione in serie che risulta essere valida quando <math> |z| < 1 </math>, ovvero
:<math> T(m,a,z) = - \frac{(-1)^{m-1} }{(m-2)! } \frac{d^{m-2} }{dt^{m-2} } \left. (\Gamma (a-t) z^{t-1} ) \right]_{t=0} + \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(-1)^i z^{a-1+i}}{i! (-a-i)^{m-1} } </math>
Nell’espressione sopra si assume che s sia un intero non negativo o zero e il suo valore richiede il calcolo di un limite. Il caso <math> |z| \ge 1 </math> può essere analizzato usando l’[[Prolungamento analitico|estensione analitica]] della funzione. Alcuni casi speciali di questa funzione sono
:<math> T(2,a,x) = \frac{\Gamma(a,x)}{x} </math>
e
:<math> x ~ T(3,1,x) = E_1 (x) </math>
dove <math> E_1 (x) </math> è la [[funzione integrale esponenziale|funzione Integrale Esponenziale]]. Queste derivate e la funzione ''T(m,a,x)'' possono essere utilizzate per fornire soluzioni esatte ad un certo numero di integrali attraverso la derivazione ripetuta della definizione integrale della funzione gamma superiore e incompleta. Per esempio,
:<math>
\int_{x}^{\infty} t^{a-1} \ln^m (t) ~ e^{-t} = \frac{\partial^m}{\partial a^m} \int_{x}^{\infty} t^{a-1} e^{-t} = \frac{\partial^m}{\partial a^m} \Gamma (a,x)
</math>
Questa formula può essere ulteriormente estesa o generalizzata per una ampia classe di [[trasformata di Laplace|trasformate di Laplace]] e [[Trasformata di Mellin|di Mellin]]. Quando combinata con un [[sistema di algebra computazionale|sistema algebrico computerizzato]], lo studio delle funzioni speciali fornisce un potente strumento per la soluzione di integrali definiti, in particolare quelli utilizzati nelle applicazioni ingegneristiche<ref>K.O. Geddes e T.C. Scott, ''Recipes for Classes of Definite Integrals Involving Exponentials and Logarithms'', Proceedings of the 1989 Computers and Mathematics conference, (MIT 12 Giugno 1989), editado por E. Kaltofen e S.M. Watt, Springer-Verlag, New York, (1989), pp. 192-201. [http://portal.acm.org/citation.cfm?id=93094]</ref> (vedere anche integrazione simbolica per maggiori dettagli).
== Note ==
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