Linearità (matematica): differenze tra le versioni
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Ad esempio, la legge <math>A = 3B</math> correla linearmente <math>A</math> e <math>B</math>: se <math>B</math> raddoppia, anche <math>A</math> raddoppia. Il significato esatto del termine "linearità" dipende tuttavia dal contesto in cui il termine viene adoperato.
▲=== Relazione lineare tra vettori ===
In [[algebra]], ''n'' [[vettore (matematica)|vettori]] <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2, \cdots \mathbf v_n</math> appartenenti a uno [[spazio vettoriale]] definito sul [[corpo (matematica)|corpo]] <math>\mathcal K</math> sono [[dipendenza lineare|linearmente dipendenti]] se intercorre tra di essi una relazione del tipo:
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allora <math>\mathbf v</math> è una [[combinazione lineare]] dei vettori <math>\mathbf v_1,\mathbf v_2, \cdots \mathbf v_n</math>. In particolare, lo spazio <math>\mathcal{L}(\mathbf v_1, \cdots, \mathbf v_n)</math> delle combinazioni lineari dei vettori <math>\mathbf v_1, \cdots, \mathbf v_n</math> prende il nome di [[sottospazio generato]] da tali vettori, ed è un [[sottospazio vettoriale]] dello spazio di cui questi vettori fanno parte. È immediato dimostrare che un vettore <math>\mathbf v</math> è combinazione lineare di <math>\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n</math> [[se e solo se]] i vettori <math>\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_n, \mathbf v</math> sono linearmente dipendenti.
{{vedi anche|Trasformazione lineare}}
Un'applicazione <math>f: V \to W</math> definita da un <math>\mathcal{K}</math>-[[spazio vettoriale]] <math>V</math> a un <math>\mathcal{K}</math>-spazio <math>W</math> è lineare se, per ogni coppia di elementi <math>x</math> e <math>y</math> appartenenti a <math>V</math> su cui agisce la funzione e per ogni coppia di scalari <math>\lambda</math> e <math>\mu</math> per cui tale funzione può essere moltiplicata, vale la relazione:
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è detta ''multilineare''. Ad esempio, il [[prodotto scalare|prodotto scalare euclideo]] è una [[forma bilineare]].
{{vedi anche|Equazione lineare}}
Un'[[equazione algebrica]] in ''n'' incognite <math>x_1, x_2, \cdots, x_n</math> si dice lineare se è della forma:
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dove si sono definiti i parametri liberi <math>t_i = x_i</math>.
{{vedi anche|Sistema di equazioni lineari}}
Un sistema lineare di equazioni algebriche è una collezione di ''m'' equazioni lineari, ciascuna nelle ''n'' incognite <math>x_1, \cdots, x_n</math>, le cui soluzioni sono soluzioni di tutte le equazioni del sistema. Equivalentemente, l'insieme delle soluzioni del sistema è l'[[intersezione]] degli insiemi di soluzioni di tutte le equazioni. A ogni sistema lineare può essere associata una [[matrice]] <math>A</math> ''m''x''n'', il cui elemento <math>a_{ij}</math> rappresenta il coefficiente dell<nowiki>'</nowiki>''i''-esima incognita nella ''j''-esima equazione. Se allora <math>\mathbf x</math> è l<nowiki>'</nowiki>''n''-vettore che ha per componenti le incognite, e <math>\mathbf b</math> è l<nowiki>'</nowiki>''m''-vettore dei termini noti, l'intero sistema di può scrivere:
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Esiste un [[teorema di Rouché-Capelli|teorema]] che mette in relazione il [[rango (algebra lineare)|rango]] della matrice <math>A</math> con la risolubilità del sistema.
{{vedi anche|Equazione differenziale lineare}}
Un'[[equazione differenziale]] [[equazione differenziale ordinaria|ordinaria]] è lineare se è della forma:
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:<math>\mathfrak{L}(ay_1+by_2) = a \mathfrak{L}(y_1) + b \mathfrak{L}(y_2) \quad \forall a,b \in \mathbb{R}</math>
La rappresentazione [[piano cartesiano|cartesiana]] di un'equazione lineare in ''n'' incognite è un [[iperpiano]] ''n-1''-dimensionale immerso nell<nowiki>'</nowiki>''n''-spazio. Ad esempio, l'equazione:
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