Geometria non euclidea: differenze tra le versioni

Versione delle 17:43, 30 mag 2013

Versione delle 02:06, 16 giu 2013

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La caratteristica che contraddistingue i postulati e gli assiomi della geometria di Euclide, secondo le idee del tempo, è l'essere asserzioni la cui verità è garantita dall'evidenza (l'opera di Euclide è stata riorganizzata in senso moderno da [[Hilbert]], che l'ha spogliata, ad esempio, del carattere osservativo da cui partiva la giustificazione nell'uso dei postulati e degli assiomi euclidei).

Secondo Euclide, l'evidenza è una caratteristica dei primi quattro postulati degli ''Elementi'': basta infatti usare riga e compasso; inoltre essi restano validi se ci si limita a una porzione finita di piano.

Sempre nell'ottica euclidea, il Postulato delle parallele non è ‘evidentemente vero', infatti non rimanda ad alcuna costruzione geometrica che possa limitarsi sempre ad una porzione finita di piano. Pare che lo stesso [[Euclide]] non fosse convinto dell'evidenza<ref>Sembra, infatti, che Euclide abbia sempre cercato di poter dimostrare il V postulato come derivato dagli altri. La sua stessa formulazione somiglia molto a quella tipica di un teorema: se.... allora..., si veda: [[V postulato di Euclide]].</ref> del postulato e questo è dimostrato dall'uso limitato che ne ha fatto nelle dimostrazioni dei teoremi della [[Geometria euclidea|sua geometria]]. Negli oltre duemila anni successivi alla diffusione degli [[Elementi di Euclide]], molti sono stati i tentativi di dimostrare il V postulato o di riformularlo o, addirittura, di sostituirlo con altri equivalenti. Tuttavia tali tentativi sono falliti in quanto i ragionamenti riconducevano sempre all'uso del V postulato.

Nei primi decenni del XIX secolo, il fallimento di tutti i tentativi effettuati aveva convinto i matematici dell'impossibilità di dimostrare il V postulato. È da questo momento che inizia a farsi strada l'idea di costruire altre geometrie che facciano a meno del V postulato. Nascono così le prime geometrie non euclidee (ad esempio la [[geometria ellittica]] o la [[geometria iperbolica]]) e i loro modelli, inizialmente al fine di dimostrarne l'inconsistenza e quindi, [[dimostrazione per assurdo|per assurdo]], il V postulato<ref>C'è differenza tra il corpo teorico di una geometria, basato su una serie di assiomi dai quali si dimostrano varie proposizioni e teoremi, ed il suo modello. Ad esempio, possono esistere più modelli per una stessa geometria, ma non il contrario. Si veda, ad esempio, il caso della [[geometria iperbolica]].</ref>.

Aristotele (384-322 a.C.), già prima di Euclide (365-300 a.C.), aveva abbozzato l'esistenza di geometrie diverse da quelle che nel XIX secolo verranno chiamate "non euclidee", riprendendo e sviluppando considerazioni di geometri contemporanei. Partendo dall'ipotesi che la somma degli angoli interni di un triangolo potesse essere diversa da due angoli retti concluse che in tal caso sarebbe dovuta cambiare anche la somma degli angoli interni di un quadrato, che nel caso euclideo è di quattro angoli retti.

Tali osservazioni sono contenute nelle opere di etica e riguardano la coerenza dello sviluppo di un sistema logico riferito all'ipotesi di base (vedi [[Imre Toth (matematico)|Imre Toth]] che ne scoprì l'esistenza a partire dal 1967 in diversi passi del "Corpus Aristotelicum")<ref>Giovanni Reale, ''Storia della filosofia greca e romana'', Vol. IV, ''Aristotele e il primo peripato'', pagg. 151-157, Edizioni Bompiani 2004. Vedi anche: Imre Toth, ''Aristotele e i fondamenti assiomatici della geometria'', Edizioni Vita e Pensiero 1998.</ref>.

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=== I postulati di Euclide ===

[[File:Euklid-von-Alexandria 1.jpg|thumb|right|[[Euclide]]]]

Dai postulati che Euclide utilizzò nei suoi ''Elementi'', si può facilmente intuire come il quinto postulato sia stato fonte di dibattiti per duemila anni. I postulati sono infatti:

# tra due [[punto (geometria)|punti]] qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola [[retta]];

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[[File:Georg Friedrich Bernhard Riemann.jpeg|thumb|right|[[Bernhard Riemann]]]]

Anche se aveva tenuto per sé i risultati più "rivoluzionari", il saggio ''Disquisitiones generales circa superficies curvas'' pubblicato da Gauss nel [[1828]] segnò una svolta nell'indagine delle geometrie alternative. L'attenzione viene rivolta alle proprietà intrinseche delle superfici, a prescindere dallo spazio in cui sono immerse: questo metodo d'indagine viene esteso da [[Bernhard Riemann]] nel suo scritto ''Sulle ipotesi che sono di fondamento della Geometria'' del [[1854]] che venne pubblicato postumo nel [[1867]]. Riemann getta le basi di una geometria totalmente nuova, detta [[geometria sferica|geometria riemanniana]], in cui il problema delle parallele non si pone nemmeno, sostituendo il concetto di retta con quello metrico di [[geodetica|curva geodetica]], ossia il percorso di minor distanza tra due punti.

Si possono così costruire geometrie a curvatura costante, oppure che varia in ogni punto, in qualunque numero di dimensioni, ognuna corrispondente ad una superficie, detta [[varietà riemanniana]] n-dimensionale. In quest'ottica, la geometria euclidea è la geometria naturale del piano.

Riemann contribuì allo studio della geometria, oltre che generalizzando il concetto di metrica euclidea, anche sviluppando un nuovo tipo di geometria partendo dalla negazione del [[V postulato di Euclide]], sostituendolo con quello che oggi viene indicato come

''assioma di Riemann'':

<div style="float:center; width:35%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">

Due rette qualsiasi di un piano hanno sempre almeno un punto in comune.

</div>

Da questo assioma segue subito che non esistono rette parallele e che cadono tutti i teoremi dimostrati facendo uso del V postulato di Euclide. Tuttavia, in geometria piana, si dimostra, senza fare uso dell'assioma delle parallele, che ''per un punto passa almeno una parallela ad una retta data'' (Proposizione 31 degli elementi di Euclide). Invece dall'[[Geometria non euclidea#Bernhard Riemann|assioma di Riemann]] segue che non esistono rette parallele. Questo dimostra che se si nega il V postulato di Euclide, allora, potrebbe essere necessario modificare anche altri assiomi del corpo teorico per rendere la teoria coerente.

La proposizione 31, nell'opera di Euclide è dimostrata facendo uso delle proposizioni 23<ref>Proposizione 23 - Costruire un angolo uguale ad un angolo dato.</ref> e 27<ref>Proposizione 27 - Se due rette qualsiasi tagliate da una trasversale formano con quest'ultima angoli alterni interni uguali, le due rette sono parallele.</ref> e quest'ultima dimostrata tramite la proposizione 16<ref>Proposizione 16 - In ogni triangolo, un angolo esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti ad esso.</ref>. Quindi affinché l'assioma di Riemann produca una teoria assiomatica coerente, è necessario assicurarsi che non possa essere dimostrata più la proposizione 31. Per quanto detto occorre modificare i postulati di Euclide, o equivalentemente gli [[assiomi di Hilbert]], al fine di rendere indimostrabile la proposizione 16. Ciò conduce ad una modifica dell'assioma di incidenza e/o dell'assioma di ordinamento, generando due diverse geometrie localmente equivalenti: la [[geometria sferica]] e la [[geometria ellittica]]. Tale nomenclatura è attribuita a [[Felix Klein|Klein]].

[[File:Beltrami.jpg|thumb|left|[[Eugenio Beltrami]]]]

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=== Eugenio Beltrami ===

[[File:Pseudosphere.png|thumb|right|La [[pseudosfera]]]]

A partire dai risultati di Riemann, [[Eugenio Beltrami]] dimostra la consistenza della nuova geometria e costruisce un modello in carta di una superficie a curvatura costante negativa, la [[pseudosfera]] iperbolica. Per comprendere la marginalità dell'argomento all'epoca, basti ricordare che un giornale dell'epoca definì il modello in carta ''la Cuffia della Nonna'', nome che tuttora ritorna nella descrizione del modello all'[[Università di Pavia]], dove è conservato, ossia ''Cuffia di Beltrami''. A questo riguardo Beltrami scrisse a Houel il [[19 dicembre]] [[1869]]:

{{quote|Mi sembra che questa dottrina non abbia trovato in linea generale la sua completa "comprensione" a tal punto che nessuno ha ancora osservato questo fatto di importanza capitale, e cioè ch'essa è completamente indipendente dal postulato di Euclide.}}

Nel suo ''Saggio di interpretazione della geometria non euclidea'' del [[1867]] Beltrami costruì il primo modello di [[geometria iperbolica]]. Particolare di rilievo è che Beltrami scrisse il saggio senza essere a conoscenza dei risultati di Riemann, fatto che lo indusse a lasciarlo da parte per leggere l'''Habilitationsvortrag'' di Riemann di cui sopra, prima di darlo alle stampe.

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* {{en}} Richard Trudeau (1991): ''La rivoluzione non euclidea'', Bollati Boringhieri, ISBN 88-339-0616-7 (orig. 1987, ''The non-euclidean revolution'', Birkhäuser)

* Jeremy Gray (1989): ''Ideas of Space: Euclidean, Non-Euclidean, and Relativistic'', 2nd edition, Clarendon Press, ISBN 0-19-853935-5

* Arlan Ramsay, Robert D. Richtmyer (1995): ''Introduction To Hyperbolic Geometry'', Springer, ISBN 0-387-94339-0

* {{cita web|url=http://books.google.it/books?id=UxC8YYSN84AC&dq=Corpus+Aristotelicum&printsec=frontcover&source=bl&ots=-crZHfzV5X&sig=ut7JdNZXicBTq9lWVXTQTr-VbNk&hl=it&ei=6RnSSfzzMcSKsAbLoPiXBA&sa=X&oi=book_result&resnum=2&ct=result#PPP1,M2|titolo=Aristotele e i fondamenti assiomatici della geometria.|autore=[[Imre Toth (matematico)|Imre Toth]] |editore=Edizioni Vita e Pensiero|data=1998 Introduzione di Giovanni Reale (Google Libri)|accesso=31.03.2009}}

* Robin Hartshorne (2000): ''Geometry: Euclid and Beyond'', Springer, ISBN 0-387-98650-2

* [[Ian Nicholas Stewart|Ian Stewart]] (2001): ''Flatterland'', Perseus Publishing, ISBN 0-7382-0675-X

* Renato Betti (2005): ''Lobačevskij. L’invenzione delle geometrie non euclidee'', Bruno Mondadori

* Marvin Jay Greenberg (2007): ''Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History'', 4th ed., W. H. Freeman, ISBN 0-7167-9948-0

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* [http://www.codas.it/home2/index.php?option=com_docman&task=doc_download&gid=60&Itemid=67 Geometrie non euclidee e modelli cosmologici di Friedmann]

* [http://www.conoscenza.rai.it/site/it-IT/?ContentID=349&Guid=46cd077fe5d04d5eba0fcb74713c1b5d Intervista con Imre Toth sulla genesi delle geometrie non euclidee e sulle sue implicazioni filosofiche.] L'intervista fa parte dell'Enciclopedia multimediale delle scienze filosofiche.

* Marisa Capra, Gianna Condreras, Giorgio Marco Udini [http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Apr_02/APPUNTI.HTM Appunti sulle geometrie non euclidee], nell'ambito di Polymath

* {{en}} J. J. O'Connor, E. F. Robertson: [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Non-Euclidean_geometry.html Non-Euclidean geometry], in [[MacTutor]]

* {{Thesaurus BNCF}}