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:<math>U(T) = \int_V \rho \varsigma_v T \operatorname dr^3 </math>
:<math>I(T) = \oint_{\partial V} (\rho \varsigma_v \fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle T - \bar \bar \lambda \cdot \nabla T )\cdot {\operatorname d \bar r^2} = \oint_{\partial V} \rho \varsigma_v \left( \fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle T - \bar \bar d_T \cdot \nabla T \right) \cdot {\operatorname d \bar r^2}</math>,
:<math>I_0 = - \int_V \rho \bar g \cdot \fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle \operatorname dr^3 + \oint_{\partial V} \bar \bar \sigma \cdot \fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle \cdot {\operatorname d \bar r^2}</math>
si ottiene:
:<math>\int_V \rho \varsigma_v \frac {\partial T}{\partial t} + \frac {\partial (\rho \varsigma_v) }{\partial t} T -\rho \bar g \cdot \fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle \operatorname dr^3 + \oint_{\partial V} \left(\rho \varsigma_v \bar \bar d_T \cdot \nabla T - \rho \varsigma_v \fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle T + \bar \bar \sigma \cdot \fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle\right) \cdot {\operatorname d \bar r^2} = 0</math>
dove ρ è la [[densità]], ς<sub>V</sub> il [[calore specifico isocoro]], T la [[temperatura]], λ il tensore<ref> ogni tensore di questa trattazione è del secondo ordine, ovvero corrisponde a una [[matrice]]</ref> di [[conducibilità termica]] e d<sub>T</sub> il tensore di [[diffusività termica]]. <math>\fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle</math> è la [[velocità media]] e <math>\bar g</math> il campo esterno di [[accelerazione]] imposto sul [[differenziale (matematica)|differenziale]] <math>\operatorname dr^3</math> del [[volume]] totale [[Varietà con bordo|finito]] V di [[Frontiera (topologia)|frontiera]] <math>\partial V</math>, e la [[tensione]] <math>\bar \bar \sigma</math> agisce sul differenziale di [[superficie]] orientato <math>\bar {\operatorname dr^2}</math><ref>ha per modulo il differenziale di superficie e direzione normale alla stessa</ref>. In base al [[teorema della divergenza]] gli scambi sono riscrivibili nel solo volume:
:<math>I(T) = \int_V \nabla (\rho \varsigma_v) \cdot \left(\frac{\operatorname d \bar r}{\operatorname dt} T - \bar \bar d_T \cdot \nabla T \right) + \rho \varsigma_v \nabla \cdot \left(\frac{\operatorname d \bar r}{\operatorname dt} T - \bar \bar d_T \cdot \nabla T \right) \operatorname dr^3 = </math>
:::<math> \qquad = \int_V - \rho \varsigma_v \bar \bar d_T \nabla^2 T + \left( \rho \varsigma_v \fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle - \rho \varsigma_v \nabla \cdot \bar \bar d_T - \nabla (\rho \varsigma_v) \cdot \bar \bar d_T \right) \cdot \nabla T + \left( \nabla (\rho \varsigma_v) + \rho \varsigma_v \nabla \right) \cdot \fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle T \operatorname dr^3 </math>,
:<math>I_0 = \int_V \nabla \cdot \left( \bar \bar \sigma \cdot \fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle \right) - \rho \bar g \cdot \fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle \operatorname dr^3 = \int_V \left(\nabla \cdot \bar \bar \sigma \cdot \, + \bar \bar \sigma : \nabla - \rho \bar g \cdot \right) \fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle \operatorname dr^3 = \int_V \frac 12 \rho \frac {\operatorname d}{\operatorname dt} \left(\fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle \right)^2 + \left(\bar \bar \sigma : \nabla - \rho \bar g \cdot \right) \fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle \operatorname dr^3</math> <ref>l'ultima uguaglianza vale siccome:
:<math>\nabla \cdot \bar \bar \sigma = \frac {\operatorname d^2 \bar r}{\operatorname dt^2}</math> </ref>
dove i : indicano il [[prodotto di saturazione]]. Il primo termine integrale atermico corrisponde alla [[energia cinetica|potenza cinetica]], il secondo termine integrale alla [[potenza deformante]], il cui integrando è detto scalare '''[[dissipazione]]''' e <math>\nabla \fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle = \frac {\operatorname d \bar \bar \epsilon}{\operatorname dt}</math> viene definito tensore [[rateo di deformazione]], il terzo alla [[energia potenziale|potenza di campo]].
===Forma differenziale euleriana===
dove:
* <math>\bar c_T= \fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle - \left( \nabla + \frac{\nabla (\rho \varsigma_v)}{\rho \varsigma_v} \right) \cdot \bar \bar d_T</math> è il vettore di [[trasporto termico]]
* <math>f_T= \left( \nabla + \frac{\nabla (\rho \varsigma_v)}{\rho \varsigma_v} \right) \cdot \fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle + \frac {1}{\rho \varsigma_v} \frac {\partial (\rho \varsigma_v)}{\partial t}</math> è la [[reattività termica]]
* <math>e_T= \frac {1}{2 \varsigma_v} \frac {\operatorname d}{\operatorname dt} \left(\fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle \right)^2 + \frac {1}{\varsigma_v} \left (\frac {\bar \bar \sigma}{\rho} : \nabla - \bar g \cdot \right) \fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle</math> è la [[sorgente termica]]
Bisogna evidenziare che solo il termine di sorgente è influenzato dai campi di accelerazioni imposti sul sistema; nel caso in cui questi siano di natura puramente elettromagnetica ad esempio il termine di sorgente diventa inserendo l'[[accelerazione di Lorentz]]:
<math>e_T= \frac {1}{2 \varsigma_v} \frac {\operatorname d}{\operatorname dt} \left(\fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle \right)^2 + \frac {\bar \bar \sigma}{\rho} : \nabla \fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle + \dfrac{1}{\rho \varsigma_v c^2} \dfrac{\partial \bar S}{\partial t} \cdot \fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle - \frac 1 {\rho \varsigma_v} \nabla\cdot\bar \bar F \cdot \fraclangle {\operatornamebar dv \bar r}{\operatorname dt}rangle</math>
dove c è la [[velocità della luce]] nel vuoto, <math>\bar S</math> è il [[vettore di Poynting]], e <math>\bar \bar F</math> è il [[tensore elettromagnetico]].
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