Forma modulare: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], una '''forma modulare''' è una [[funzione olomorfa]] sul [[semipiano complesso superiore]] che verifica un'[[equazione funzionale]] rispetto all'azione di particolari [[sottogruppo|sottogruppi]] del [[gruppo modulare]] e che soddisfa alcune condizioni crescita.

{{S|geometria}}

Le '''forme modulari''' sono oggetti matematici con infiniti gradi di [[simmetria (matematica)|simmetria]] (rotazione, traslazione).

La teoria delle forme modulari è parte dell'[[analisi complessa]] ma le sue applicazioni principali sono nell'ambito della [[teoria dei numeri]]. Le forme modulari compaiono anche in altre aree, come la [[topologia algebrica]] e la [[teoria delle stringhe]].

== Caratteristiche ==

La caratteristica principale delle forme modulari (che determina poi gli infiniti gradi di simmetria) è che esse sono espresse attraverso quattro dimensioni, le cui coordinate sono date da [[numeri complessi]].

Infatti se ad un oggetto comune (come un [[Quadrato (geometria)|quadrato]]) corrispondono due dimensioni (''x'' & ''y''), ad una forma modulare corrispondono sì due dimensioni, ma a ciascuna di queste corrisponde un piano complesso, ovvero un piano definito da un asse reale e uno immaginario; avremo quindi il piano (X<small>r</small>; X<small>i</small>) e (Y<small>r</small>; Y<small>i</small>).

Questo rende le forme modulari impossibili da disegnare o immaginare.

La teoria delle forme modulari è un caso particolare della più generale teoria delle [[forme automorfe]].

== La [[funzione L#serie L|L-serie]] e il legame con le [[curva ellittica|curve ellittiche]] ==

Le forme modulari sono generate da [[equazioni modulari]] che ammettono infinite soluzioni elencate in una [[funzione L#serie L|L-serie]].

== Forme modulari per SL₂(<math>\mathbb{Z}</math>) ==

Ogni [[equazione modulare]] presenta così un proprio elenco di risultati (L-serie). Grazie al [[teorema di Taniyama-Shimura]] dimostrato da [[Andrew Wiles]], sappiamo che ad ogni [[funzione L#serie L|L-serie]] di un'equazione modulare corrisponde una [[funzione L#serie L|L-serie]] di una curva ellittica.

Una forma modulare di peso ''k'' per il [[gruppo modulare]]

:<math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z}) = \left \{ \left ( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right ), a, b, c, d \in \mathbb Z, ad-bc = 1 \right \}</math>

è una funzione ''f'' sul [[semipiano complesso superiore]] <math>\mathbb{H} = \{z \in \mathbb{C}, \text{Im}(z) > 0\} </math> a valori nell'insieme dei [[numeri complessi]] che soddisfa tre condizioni:

:(1) è una [[funzione olomorfa]] su <math>\mathbb{H}</math>;

=== Le dimostrazioni conseguenti ===

:(2) per ogni ''z'' in <math>\mathbb{H}</math> e per ogni [[matrice]] <math>\gamma = \left ( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right )</math> in <math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z})</math> vale

Sulla corrispondenza tra curve ellittiche e forme modulari si basa (tra le innumerevoli dimostrazioni) anche la dimostrazione dell'[[Ultimo teorema di Fermat]], completata da Wiles nel [[1995]].

:<math> f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)</math>

== Bibliografia ==

* [[Simon Singh|Singh, S.]], "''L'ultimo teorema di Fermat''", [[1999]], ''[[Biblioteca Universale Rizzoli]]'' ISBN 88-17-11291-7

:(3) è ''olomorfa alla cuspide'', cioè ''f'' deve essere olomorfa per <math>z \to i\infty</math> (cioè per <math>\text{Im}(z) \to +\infty</math>). La terminologia sarà spiegata in seguito.

Il peso ''k'' è solitamente un [[numero intero]].

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria dei numeri]]

La seconda condizione può essere riformulata. Siano

:<math>S = \left ( \begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right )</math>

:<math>T = \left ( \begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>

Poiché le matrici ''T'' e ''S'' generano il [[gruppo modulare]] <math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z})</math>, allora la seconda condizione è equivalente alle due equazioni seguenti:

:<math>f(-1/z) = z^k f(z)\,</math>

:<math>f(z+1) = f(z)\,</math>

Dall'ultima delle due precedenti equazioni segue che le forme modulari sono [[funzione periodica|funzioni periodiche]] di periodo 1 e ammettono quindi sviluppo in [[serie di Fourier]]. Da questo segue che per ''k'' dispari solo la funzione costantemente nulla soddisfa la seconda condizione.