Forma modulare: differenze tra le versioni
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La teoria delle forme modulari è un caso particolare della più generale teoria delle [[forme automorfe]].
== Descrizione informale ==
== Forme modulari per SL<sub>2</sub>(<math>\mathbb{Z}</math>) ==▼
Le '''forme modulari''' sono oggetti matematici con infiniti gradi di [[simmetria (matematica)|simmetria]] (rotazione, traslazione). La caratteristica principale delle forme modulari (che determina poi gli infiniti gradi di simmetria) è che esse sono espresse attraverso quattro dimensioni, le cui coordinate sono date da [[numeri complessi]]. Infatti se ad un oggetto comune (come un [[Quadrato (geometria)|quadrato]]) corrispondono due dimensioni (''x'' & ''y''), ad una forma modulare corrispondono sì due dimensioni, ma a ciascuna di queste corrisponde un piano complesso, ovvero un piano definito da un asse reale e uno immaginario; avremo quindi il piano (X<small>r</small>; X<small>i</small>) e (Y<small>r</small>; Y<small>i</small>). Questo rende impossibile disegnare il grafico di una forma modulare.
Una forma modulare di peso ''k'' per il [[gruppo modulare]]
:<math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z}) = \left \{ \left ( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right ), a, b, c, d \in \mathbb Z, ad-bc = 1 \right \}</math>
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:<math>f(z+1) = f(z)\,</math>
Dall'ultima delle due precedenti equazioni segue che le forme modulari sono [[funzione periodica|funzioni periodiche]] di periodo 1 e ammettono quindi sviluppo in [[serie di Fourier]]. Da questo segue che per ''k'' dispari solo la funzione costantemente nulla soddisfa la seconda condizione.
== La L-serie e il legame con le curve ellittiche ==
Ad ogni forma modulare è possibile associare una [[funzione L#serie L|L-serie]]. Grazie al [[teorema di Taniyama-Shimura]] dimostrato da [[Andrew Wiles]], sappiamo che ad ogni [[funzione L#serie L|L-serie]] di una [[curva ellittica]] corrisponde una [[funzione L#serie L|L-serie]] di un'[[equazione modulare]].
=== Le dimostrazioni conseguenti ===
Sulla corrispondenza tra curve ellittiche e forme modulari si basa (tra le innumerevoli dimostrazioni) anche la dimostrazione dell'[[Ultimo teorema di Fermat]], completata da Wiles nel [[1995]].
== Bibliografia ==
* {{en}} F. Diamond e J. Shurman (2005), ''A First Course in Modular Forms'', Graduate Texts in Mathematics '''228''' Springer, New York.
* [[Simon Singh|Singh, S.]], "''L'ultimo teorema di Fermat''", [[1999]], ''[[Biblioteca Universale Rizzoli]]'' ISBN 88-17-11291-7
== Voci correlate ==
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