Forma modulare: differenze tra le versioni

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Versione delle 02:14, 29 ago 2013

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== Forme modulari per SL₂('''Z''') ==

Una '''forma modulare di peso''' ''k'' per il [[Gruppogruppo modulare Gamma(matematica)|gruppo modulare]]

:<math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z}) = \left \{ \left ( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right ), a, b, c, d \in \mathbb Z, ad-bc = 1 \right \}</math>

è una funzione ''f'' definita sul [[semipiano superiore complesso]] <math>\mathbb{H} = \{z \in \mathbb{C}, \text{Im}(z) > 0\} </math> a valori nell'insieme dei [[numeri complessi]] che soddisfa tre condizioni:

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:<math>S = \left ( \begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right )</math>

:<math>T = \left ( \begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right )</math>

Poiché le matrici ''T'' e ''S'' [[Insieme di generatori|generano]] il [[Gruppo modulare Gamma|gruppo modulare]] <math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z})</math>, allora la seconda condizione è equivalente alle due equazioni seguenti:

:<math>f(-1/z) = z^k f(z)\,</math>

:<math>f(z+1) = f(z)\,</math>

Dall'ultima delle due precedenti equazioni segue che le forme modulari sono [[funzione periodica|funzioni periodiche]] di periodo 1 e ammettono quindi sviluppo in [[serie di Fourier]]. Da questo segue che per ''k'' dispari solo la funzione costantemente nulla soddisfa la seconda condizione.

A volte, invece di <math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z})</math>, si considera il [[Gruppo modulare Gamma|gruppo modulare]], cioè <math>\text{PSL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z})</math>, poiché così l'azione su <math>\mathbb{H}</math> è [[Azione di gruppo#Definizioni ulteriori|fedele]].

== La L-serie e il legame con le curve ellittiche ==