Teoremi di punto fisso: differenze tra le versioni

Versione delle 16:37, 25 mag 2013

Versione delle 19:47, 4 ott 2013

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Alcuni '''teoremi''' molto importanti in matematica asseriscono che alcune funzioni da un insieme in sé hanno dei '''[[punto fisso|punti fissi]]'''.

Questi teoremi si applicano in [[analisi matematica]], [[analisi funzionale]] e [[topologia]].

Si possono distinguere alcune categorie:

* TPF di [[Contrazione (spazio metrico)|Contrazioni]] (Banach)

* TPF di [[Compattezza]] (Brouwer, Schauder, Schaefer, Kakutani)

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* TPF misti ([[Teorema di Krasnoselskii|Krasnoselskii]])

I teoremi precedenti valgono nell'ambito dell'[[analisi matematica]].

Altri teoremi di punto fisso sono presenti in altri campi della matematica:

*Il [[Teorema di Lawvere]] è un teorema di punto fisso nell'ambito della [[teoria delle categorie]].

== Analisi matematica e funzionale ==

I seguenti teoremi vengono utilizzati in [[analisi matematica]], in particolare nei campi delle [[equazione differenziale ordinaria|equazione differenziale ordinarie]] e delle [[equazione differenziale alle derivate parziali|equazioni differenziali alle derivate parziali]].

Mentre il teorema di Banach afferma l'esistenza e l'unicità del punto fisso, gli altri teoremi consentono l'esistenza più punti fissi.

=== Teoremi di punto fisso più noti ===

* Il [[Teorema del punto fisso di Banach]] (o delle contrazioni) asserisce che una [[contrazione (spazio metrico)|contrazione]] su uno [[spazio metrico]] [[Spazio completo|completo]] ha uno e un solo punto fisso.

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=== Estensioni del teorema di Brouwer ===

Alcuni teoremi estendono il Teorema di Brouwer a spazi più generali.

* Il [[Teorema del punto fisso di Schauder|Teorema del punto fisso]] di [[Schauder]] stabilisce (in una delle sue versioni): se <math> C </math> è un [[insieme chiuso|sottoinsieme chiuso]], [[insieme convesso|convesso]] e non vuoto di uno [[spazio di Banach]] <math> B </math> e <math> f:C\to C </math> è una funzione continua con [[immagine (matematica)|immagine]] [[spazio compatto|compatta]], allora <math> f </math> ha almeno un punto fisso.

* Il [[Teorema di unicità di Kellogg|Teorema di Kellogg]] aggiunge una ''condizione di unicità'' alle condizioni dei teoremi di Brouwer e Schauder.

* Il [[Teorema di punto fisso di Schaefer|Teorema di Schaefer]] che riformula il teorema di Schauder in modo da non richiedere esplicitamente di dichiarare l'insieme <math> C </math>, chiuso e convesso, del punto precedente.

:

* Il [[Teorema di Rothe]] considera una funzione che manda la frontiera di un insieme aperto nell'aperto stesso.

* Il [[Teorema di Altman]] utilizza una stima della norma.

:

* Il [[Teorema di Tychonov|Teorema]] di punto fisso di [[Andrej Nikolaevič Tichonov|Tichonov]] si applica ad ogni [[spazio vettoriale topologico]] <math> V </math> [[spazio vettoriale topologico localmente convesso|localmente convesso]]. Detto teorema stabilisce che per ogni insieme compatto, convesso, non vuoto <math> X </math> di <math> V </math>, e per ogni funzione continua <math> f:X \to X </math> esiste (almeno) un punto fisso per <math> f </math>.

* Il [[Teorema di Kakutani]] considera corrispondenze con valori di insieme.

:

* Il [[Teorema di Krasnoselskii|Teorema]] di [[Krasnoselskii]] considera una funzione ''F'' che sia somma di una contrazione e di una funzione compatta. È una combinazione del teorema di punto fisso di Schauder e del teorema di contrazione.

=== Misure di non compattezza ===

Questi teoremi estendono il teorema di Schauder, generalizzando la compattezza con la misura di non-compattezza e le funzioni [[Applicazione condensante|condensanti]].

* [[Teorema di Darbo-Sadovskii]]

== Bibliografia ==

* {{en}} Klaus Deimling, "''Nonlinear Functional Analysis''", Springer-Verlag (1985)

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* {{en}} D. R. Smart, "''Fixed point theorems''", [[Cambridge University Press]]

* {{en}} Michael E. Taylor, "''Partial Differential Equations III: Nonlinear Equations''", Springer (1979, 1996)

* {{en}} Eberhard Zeidler, "''Nonlinear Functional Analysis and its Applications: Part 1: Fixed-Point Theorems''", Springer (1998)

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{{portale|matematica}}

[[Categoria:puntiPunti fissi]]

[[Categoria:Teoremi|Punto fisso]]