「利用者:Deer hunter/sandbox」の版間の差分

2016年11月12日 (土) 09:31時点における版

2016年11月12日 (土) 10:19時点における版

117行目:

籌算は加法原理と親和性が高い。算木数字の各桁を表している棒は加法性を持っており、加算を行うには棒を機械的に動かすだけでよい。これが[[アラビア数字]]との最大の差異である。アラビア数字では、たとえば「1」と「2」の数字を機械的な操作によって「3」へと変換することができないため、1桁の数の加法をすべての組み合わせについて覚えなければならない。

{{math|1=3748に + 289を足す {{=}} 4037 }} の計算手順を以下図に示す。

{| style="width:70%"

#被加数3748を上段に、加数289を下段に書く。計算は左から右の順で行う。始めに計算する位は下段289の2である。

#「2」を表している2本の棒を取り、上の段の「7」に加えて「9」とする。

#下段の「8」を繰り上がらせるため、真上の升の「4」から棒を2本移してくる。下段は繰り上がって109となる。

#下段左端の「1」を上段に移すと、「39」が繰り上がって「40」となる。

#下段の「9」を繰り上がらせるため、真上の升の「8」」から棒を1本移してくる。繰り上がって「10」となる）。

#下段に残った1本の棒を真上の升に移すと、上段に現れた4037が和の値である。

加算の過程を経ると、被加数の棒の配置が適切に変更され、加数からは棒が消えてしまう。

{| style="width:100%" style="margin:0 auto"

|+ '''籌算による加算 {{math|1= 3748 + 289 = 4037 }}'''

|-

| style="vertical-align:top; width:5%"|

|(1)||

(1)

|style="width:45%"|被加数3748を上段に、加数289を下段に書く。計算は左から右の順で行う。始めに計算する位は下段289の2である。

|style="width:2%"|

|style="width:20%"|

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

144 ⟶ 137行目:

|[[File:Counting rod v9.png|14px]]

|}

|-

|style="width:2em"|

| style="vertical-align:top"|

|(2)||

(2)

|「2」を表している2本の棒を取り、上の段の「7」に加えて「9」とする。

| ||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

158 ⟶ 154行目:

|[[File:Counting rod v9.png|14px]]

|}

|-

|style="width:2em"|

| style="vertical-align:top"|

|(3)||

(3)

|下段の「8」を繰り上がらせるため、真上の升の「4」から棒を2本移してくる。下段は繰り上がって109となる。

| ||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

172 ⟶ 171行目:

|[[File:Counting rod v9.png|14px]]

|}

|-

| style="vertical-align:top"|

|(4)||

(4)

|下段左端の「1」を上段に移すと、「39」が繰り上がって「40」となる。

| ||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

186 ⟶ 188行目:

|[[File:Counting rod v9.png|14px]]

|}

|-

| style="vertical-align:top"|

|(5)||

(5)

|下段の「9」を繰り上がらせるため、真上の升の「8」から棒を1本移してくる。繰り上がって「10」となる。

| ||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

200 ⟶ 205行目:

|[[File:Rods-0.png|14px]]

|}

|-

| style="vertical-align:top"|

|(6)||

(6)

|下段に残った1本の棒を真上の升に移す。上段に現れた4037が求める和の値である。

| ||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

215 ⟶ 223行目:

|}

|}

加算の過程を経ると、被加数の棒の配置が適切に変更され、加数からは棒が消えてしまう。

==減算==

221 ⟶ 230行目:

{| style="width:100%" style="margin:0 auto"

|-

|style="vertical-align:top"|(1)||

|(1)||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

231 ⟶ 240行目:

|}

|style="width:2em"|

|style="vertical-align:top"|(2)||

|(2)||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

241 ⟶ 250行目:

|}

|style="width:2em"|

|style="vertical-align:top"|(3)||

|(3)||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

252 ⟶ 261行目:

|}

===繰り下げあり===

{{math|1= 4231 − 789 = 3442}}のように繰り下がりがある場合、より複雑な手順が必要となる。この例減算の計算ステップを下の表に示す。

{| style="width:100%"

#被減数4231を上段に、減数789を下段に書く。左から右に計算していく。

#上段1000の位の「4」から1を借りて「3」とする。借りた1を100の位の10とみなし、下段100の位の数「7」を10から差し引く。こうして残った3を上段100の位の「2」に足し、「5」とする。下段からも同じく7を差し引き、100の位を空白とする。

#上段100の位の「5」から1を借りて「4」とする。借りた1を10の位の10とみなし、下段10の位の数「8」を差し引く。残った2は上段10の位に加えられる。

#上段10の位の「5」から1を借りて「4」とし、借りた1を1の位の10とみなして下段の「9」を差し引く。残った1を上段1の位に加える。これで下段のすべての棒が差し引かれたので、上段に残った3442が計算結果となる。

{| style="width:100%" style="margin:0 auto"

|+ '''籌算による減算 {{math|1= 4231 − 789 = 3442 }}'''

|-

| style="vertical-align:top; width:5%"|

|(1)||

(1)

|style="width:75%"|被減数4231を上段に、減数789を下段に書く。左から右に計算していく。

|style="width:2%"|

|style="width:20%"|

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

275 ⟶ 281行目:

|[[File:Counting rod v9.png|14px]]

|}

|-

|style="width:2em"|

| style="vertical-align:top"|

|(2)||

(2)

|上段1000の位の「4」から1を借りて「3」とする。借りた1を100の位の10とみなし、下段100の位の数「7」を10から差し引く。こうして残った3を上段100の位の「2」に足し、「5」とする。下段からも同じく7を差し引き、100の位を空白とする。

| ||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

289 ⟶ 298行目:

|[[File:Counting rod v9.png|14px]]

|}

|-

|style="width:2em"|

| style="vertical-align:top"|

|(3)||

(3)

|上段100の位の「5」から1を借りて「4」とする。借りた1を10の位の10とみなし、下段10の位の数「8」を差し引く。残った2は上段10の位に加えられる。

| ||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

303 ⟶ 315行目:

|[[File:Counting rod v9.png|14px]]

|}

|-

|style="width:2em"|

| style="vertical-align:top"|

|(4)||

(4)

|上段10の位の「5」から1を借りて「4」とし、借りた1を1の位の10とみなして下段の「9」を差し引く。残った1を上段1の位に加える。これで下段のすべての棒が差し引かれたので、上段に残った3442が計算結果となる。

| ||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

319 ⟶ 334行目:

|}

==乗算==

[[File:Al Uqlidisi multiplication.GIF|thumb|right|150px|al Uqlidis (952 AD)multiplication, a variation of Sun zi multiplication]]

『[[孫子算経]]』には籌算による乗算の方法が詳述されている。下図に{{math| 38 × 76 }}の計算ステップを示す。

{| style="width:80%"

#被乗数38を上段に、乗数76を下段に書く。乗数の1の位を被乗数の最高位に合わせ、二つの数の間に記録用の余白を空けておく。

#被乗数の最高位から計算を始める（この例では、まず{{math| 30 × 76 }}を、次いで{{math| 8 × 76 }}を計算する）。まず九九の表に基づいて3かける7を計算し、答えの21を中段に書く。21の「1」は乗数の10の位（「7」）と揃える（7の上に1を置く）。

#3かける6を計算し、答の18を乗数の1の位と揃えて中段に書く（6の上に8を置く）。このとき、21の1の位と、18の10の位が同じ場所に来る。

#同じ升に入った棒はすべて合わせて1つの数を作る（中段の数は228となる）。被乗数38のうち「3」の計算は終わったので、棒を取り去る。

#乗数を1桁ぶん右にずらす。これに従って7を横棒形式に、6を縦棒形式に変える。

#{{math| 8 × 76 }} のうち、8かける7をまず計算する。答の56を中段下の図の位置に書き、その「6」を今かけた位「7」と揃える。「7」の計算はこれで終わったので、升から棒を取り去る。

#下段に残った6を上段の8にかける。その答え48を中段下の図の位置に書き、その「8」を今かけた位「7」に揃える。

#同じ升に入った棒「6」と「4」を合わせ、1だけ繰り上がらせて新しい数を「0」とする。ここで中段下の数は608となる。

#中段に現れた二つの数の和を取る。その結果2888が求める積である。

{| style="width:100%" style="margin:0 auto"

|+ '''籌算による乗算 {{math|1= 38 − 76 = 2888 }}'''

|-

| style="vertical-align:top; width:5%"|

|(1)||

(1)

|style="width:55%; "|被乗数38を上段に、乗数76を下段に書く。乗数の1の位を被乗数の最高位に合わせ、二つの数の間に記録用の余白を空けておく。

|style="width:2%"|

|style="width:20%"|

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

343 ⟶ 349行目:

|[[File:Counting rod v8.png|14px]]

|-

| || || ||

|[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]

|-

| || || ||

|[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]

|-

|[[File:Rods-0.png|14px]]

352 ⟶ 358行目:

|[[File:Rods-0.png|14px]]

|}

|-

|style="width:2em"|

| style="vertical-align:top"|

|(2)||

(2)

|被乗数の最高位から計算を始める（この例では、まず{{math| 30 × 76 }}を、次いで{{math| 8 × 76 }}を計算する）。まず九九の表に基づいて3かける7を計算し、答えの21を中段に書く。21の「1」は乗数の10の位（「7」）と揃える（7の上に1を置く）。

| ||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

366 ⟶ 375行目:

|[[File:Rods-0.png|14px]]

|-

| || || ||

|[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]

|-

|[[File:Rods-0.png|14px]]

373 ⟶ 382行目:

|[[File:Rods-0.png|14px]]

|}

|-

|style="width:2em"|

| style="vertical-align:top"|

|(3)||

(3)

|3かける6を計算し、答の18を乗数の1の位と揃えて中段に書く（6の上に8を置く）。このとき、21の1の位と、18の10の位が同じ場所に来る。

| ||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

387 ⟶ 399行目:

|[[File:Rods-0.png|14px]]

|-

| || || ||

|[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]

|-

|[[File:Rods-0.png|14px]]

394 ⟶ 406行目:

|[[File:Rods-0.png|14px]]

|}

|-

| style="vertical-align:top"|

|(4)||

(4)

|同じ升に入った棒はすべて合わせて1つの数を作る（中段の数は228となる）。被乗数38のうち「3」の計算は終わったので、棒を取り去る。

| ||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

408 ⟶ 423行目:

|[[File:Rods-0.png|14px]]

|-

| || || ||

|[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]

|-

|[[File:Rods-0.png|14px]]

415 ⟶ 430行目:

|[[File:Rods-0.png|14px]]

|}

|-

| style="vertical-align:top"|

|(5)||

(5)

|乗数を1桁ぶん右にずらす。これに従って7を横棒形式に、6を縦棒形式に変える。

| ||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

429 ⟶ 447行目:

|[[File:Rods-0.png|14px]]

|-

| || || ||

|[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]

|-

|[[File:Rods-0.png|14px]]

436 ⟶ 454行目:

|[[File:Counting rod v6.png|14px]]

|}

|-

| style="vertical-align:top"|

|(6)||

(6)

|{{math| 8 × 76 }} のうち、8かける7をまず計算する。答の56を中段下の図の位置に書き、その「6」を今かけた位「7」と揃える。「7」の計算はこれで終わったので、升から棒を取り去る。

| ||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

460 ⟶ 481行目:

|[[File:Counting rod v6.png|14px]]

|}

|-

| style="vertical-align:top"|

|(7)||

(7)

|下段に残った6を上段の8にかける。その答え48を中段下の図の位置に書き、その「8」を今かけた位「7」に揃える。

| ||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

484 ⟶ 508行目:

|[[File:Counting rod v6.png|14px]]

|}

|-

| style="vertical-align:top"|

|(8)||

(8)

|同じ升に入った棒「6」と「4」を合わせ、1だけ繰り上がらせて新しい数を「0」とする。ここで中段下の数は608となる。

| ||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

| || || ||

|[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]

|-

|[[File:Counting rod h2.png|14px]]

500 ⟶ 527行目:

|[[File:Counting rod v8.png|14px]]

|-

| || || ||

|[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]

|}

|-

| style="vertical-align:top"|

|(9)||

(9)

|中段に現れた二つの数の和を取る。その結果2888が求める積である。

| ||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

| || || ||

|[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]

|-

|[[File:Counting rod h2.png|14px]]

513 ⟶ 543行目:

|[[File:Counting rod v8.png|14px]]

|-

| || || ||

|[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]

|-

| || || ||

|[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]||[[File:Rods-0.png|14px]]

|}

|}

[[File:Al Uqlidisi multiplication.GIF|thumb|center|120px|アル＝ウクリーディスィー（952年）の乗算法。孫子の方法の一種。]]{{clear}}

==除算==

[[File:Al Uqlidisi division.GIF|thumb|right|120px|10世紀、アル＝ウクリーディスィーの除算法。]]

[[File:AL Khwarizmi division.GIF|thumb|left|120px|フワーリズミーの除算法（825年）は孫子の除算アルゴリズムと同一のものである。]]

[[File:Kushyar ibn Labban division.GIF|right|thumb|120px|孫子の方法を模倣した、11世紀のKushyar ibn Labbanの除算法。]]

『孫子算経』の方法で除算{{nowrap|{{sfrac|309|7}} {{=}} 44{{sfrac|1|7}}}} を行う手順を下図に示す。

{| style="width:80%"

#被除数309を中段に、除数7を下段に書く。2つの数は左の桁でそろえておく。上段は空白とする。

#309の「3」は7で割れないので、除数7を1桁ぶん右に動かす（縦棒形式を横棒形式に変える）。

#九九の表に基づいて{{math| 30 ÷ 7 }}を計算し、商4と剰余2を得る。商4は上段に書く。中段の割った数30を取り除き、剰余2を代わりに書く。

#除数7を1桁分右に動かす（縦棒形式に変える）。

#{{math| 29 ÷ 7 }}を計算すると、商は4、剰余1である。商4を上段に書き、このステップで除された29を中段から取り除いて剰余1を代わりに置く。こうして残った数字が求める商44および剰余1を表している。

『孫子算経』の除算アルゴリズムはインドを経由して、825年に[[アル＝フワーリズミー]]の手によりそのままの形でイスラム国家に伝えられた。フワーリズミーの著書は13世紀にラテン語に翻訳され、孫子の除算法はヨーロッパで{{仮リンク|ガレー算|en|Galley division}}に発展した。

925年にアル＝ウクリーディスィー（[[:en:Abu'l-Hasan al-Uqlidisi]]）が書いた ''Kitab al-Fusul fi al-Hisab al-Hindi'' や、11世紀に[[:en:Kushyar Gilani|Kushyar ibn Labban]]が書いた ''[[:en:Principles of Hindu Reckoning|Principles of Hindu Reckoning]]'' にみられる除算法は孫子のアルゴリズムと同じものである。

{| style="width:100%" style="margin:0 auto"

|+ '''籌算による除算 {{math|1= {{sfrac|309|7}} {{=}} 44{{sfrac|1|7}} }}'''

|-

| style="vertical-align:top; width:5%"|

|(1)||

(1)

|style="width:55%; "|被除数309を中段に、除数7を下段に書く。2つの数は左の桁でそろえておく。上段は空白とする。

|style="width:2%"|

|style="width:20%"|

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

| || ||

|[[File:Rods-0.png|14px]]

|[[File:Rods-0.png|14px]]

|[[File:Rods-0.png|14px]]

|-

|[[File:Counting rod v3.png|14px]]

551 ⟶ 570行目:

|[[File:Rods-0.png|14px]]

|}

|-

|style="width:1em"|

| style="vertical-align:top"|

|(2)||

(2)

|309の「3」は7で割れないので、除数7を1桁ぶん右に動かす（縦棒形式を横棒形式に変える）。

| ||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

| || ||

|[[File:Rods-0.png|14px]]

|[[File:Rods-0.png|14px]]

|[[File:Rods-0.png|14px]]

|-

|[[File:Counting rod v3.png|14px]]

567 ⟶ 587行目:

|[[File:Rods-0.png|14px]]

|}

|-

|style="width:1em"|

| style="vertical-align:top"|

|(3)||

(3)

|九九の表に基づいて{{math| 30 ÷ 7 }}を計算し、商4と剰余2を得る。商4は上段に書く。中段の割った数30を取り除き、剰余2を代わりに書く。

| ||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

583 ⟶ 606行目:

|[[File:Rods-0.png|14px]]

|}

|-

|style="width:1em"|

| style="vertical-align:top"|

|(4)||

(4)

|除数7を1桁分右に動かす（縦棒形式に変える）。

| ||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

599 ⟶ 625行目:

|[[File:Counting rod v7.png|14px]]

|}

|-

|style="width:1em"|

| style="vertical-align:top"|

|(5)||

(5)

|{{math| 29 ÷ 7 }}を計算すると、商は4、剰余1である。商4を上段に書き、このステップで除された29を中段から取り除いて剰余1を代わりに置く。こうして残った数字が求める商44および剰余1を表している。

| ||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

615 ⟶ 644行目:

|[[File:Counting rod v7.png|14px]]

|}

|}{{clear}}

|}

『孫子算経』の除算アルゴリズムはインドを経由して、825年に[[アル＝フワーリズミー]]の手によりそのままの形でイスラム国家に伝えられた。フワーリズミーの著書は13世紀にラテン語に翻訳され、孫子の除算法はヨーロッパで{{仮リンク|ガレー算|en|Galley division}}に発展した。

{{clear}}

925年にアル＝ウクリーディスィー（[[:en:Abu'l-Hasan al-Uqlidisi]]）が書いた ''Kitab al-Fusul fi al-Hisab al-Hindi'' や、11世紀に[[:en:Kushyar Gilani|Kushyar ibn Labban]]が書いた ''[[:en:Principles of Hindu Reckoning|Principles of Hindu Reckoning]]'' にみられる除算法は孫子のアルゴリズムと同じものである。

{{multiple image

| align = left

| direction = horizontal

| header =

| image1 = AL Khwarizmi division.GIF

| caption1 = フワーリズミーの除算法（825年）。

| width1 = 195

| image2 = Al Uqlidisi division.GIF

| caption2 = アル＝ウクリーディスィーの除算法（10世紀）。

| width2 = 203

| image3 = Kushyar ibn Labban division.GIF

| caption3 = Kushyar ibn Labbanの除算法（11世紀）。

| width3 = 168

}}{{clear}}

==分数の計算==

{| class="wikitable" style="white-space:nowrap; float:right"

990 ⟶ 1,034行目:

===最大公約数と約分===

『[[九章算術]]』に分母分子の最大公約数を求めて約分を行うアルゴリズムが解説されている。分母分子のうち大きい方を小さい方で割り、割られた数を剰余で置き換えることを繰り返し、最終的に分母分子が等しくなるとそれが最大公約数である。{{sfrac|675|375|}} の最大公約数75を求める手順を以下に示す。

{| style="width:100%" style="margin:0 auto"

|-

|style="vertical-align:top"|(1)||

|(1)||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

1,005 ⟶ 1,049行目:

|}

|style="width:1em"|

|style="vertical-align:top"|(2)||

|(2)||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

1,017 ⟶ 1,061行目:

|}

|style="width:1em"|

|style="vertical-align:top"|(3)||

|(3)||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

1,029 ⟶ 1,073行目:

|}

|style="width:1em"|

|style="vertical-align:top"|(4)||

|(4)||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

|-

1,041 ⟶ 1,085行目:

|}

|style="width:1em"|

|style="vertical-align:top"|(5)||

|(5)||

{|class="wikitable" style="text-align:center"

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暦学者で数学者の[[何承天]]は、分数による一種の[[内挿]]法である「{{仮リンク|調日法|zh|调日法}}」を考案した。未知の実数をそれより大きい分数（強率）と小さい分数（弱率）で挟み、強率・弱率の分母分子をそれぞれ足した分数を新たな強率もしくは弱率として計算を繰り返すことで、未知数の近似値を求める方法である。[[祖沖之]]が得た名高い円周率の近似値 {{nowrap|{{pi}} {{=}} {{sfrac|355|113}}}} は調日法で求めることができる<ref>Wu Wenjun ed Grand Series of History of Chinese Mathematics vol 4 p125</ref>。{{clear}}

==連立一次方程式==

『九章算術』巻第八「方程」には[[ガウスの消去法]]によって似た[[連立一次方程式]]をの解く方法が述べられている<ref>Jean-Claude Martzloff, A History of Chinese Mathematics, p249-257</ref>。以下を例題とする。

{{quotation|1) 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？|[http://ctext.org/nine-chapters/fang-cheng/zh 九章算術: 方程] - 中國哲學書電子化計劃}}

::（訳）上等の稲が3束、中等の稲が2束、下等の稲が1束あり、これらの実を合わせると39斗になる。それぞれ2束、3束、1束であれば34斗となり、1束、2束、3束であれば26斗となる。それぞれの稲1束当たりの実は何斗か？

代数的にはこの問題は三元連立方程式で表される。

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この結果を用いれば、上等および中等の稲についてそれぞれ {{math| 9{{sfrac|1|4}}}} 斗、{{math| 4{{sfrac|1|4}}}} 斗の値を得るのは容易である。

[[File:Fangcheng.GIF|thumb |400px|連立方程式を解く手順（アニメーション）。]]{{clear}}

[[File:Fangcheng.GIF|thumb|center|400px|連立方程式を解く手順（アニメーション）。]]

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==開平計算==