Primo principio della termodinamica: differenze tra le versioni

Versione delle 17:00, 10 ott 2013

Versione delle 17:05, 10 ott 2013

Riga 184:

si riesprime il primo principio in forma locale come:

:<math>\rho \frac{D}{Dt} \left(h-\frac p \rho \right) + \nabla \cdot \bar q + \bar \bar \tau : \barnabla \langle \bar v \epsilonrangle + p \epsilonnabla \cdot \langle \bar v \rangle= 0 </math>

ovvero, svolgendo le derivate lagrangiane:

:<math>\rho \frac{Dh}{Dt} - \frac{Dp}{Dt} + \frac p \rho \frac{D\rho}{Dt} + \nabla \cdot \bar q + \bar \bar \tau : \barnabla \langle \bar v \epsilonrangle + p \epsilonnabla \cdot \langle \bar v \rangle = 0 </math>

e utilizzando la [[conservazione della massa]] in forma locale:

:<math>\rho \frac{Dh}{Dt} - \frac{Dp}{Dt} - p \nabla \cdot \langle \bar v \rangle + \nabla \cdot \bar q + \bar \bar \tau : \barnabla \langle \bar v \epsilonrangle + p \epsilonnabla \cdot \langle \bar v \rangle = 0 </math>

ed in esplicitando la derivata lagrangiana della pressione<ref>{{Cita|Todreas et al.|pp. 110}}, eq. 4-105</ref>:

:<math>\rho \frac{Dh}{Dt} - \frac{\partial p}{\partial t} - \langle \bar v \rangle \cdot \nabla p - p \nabla \cdot \langle \bar v \rangle + \nabla \cdot \bar q + \bar \bar \tau : \barnabla \barlangle \epsilonbar + pv \epsilonrangle = 0 </math>

infine raccogliendo in base alla regola di Leibniz:

:<math>\rho \frac{Dh}{Dt} - \frac{\partial p}{\partial t} - \nabla \cdot (\langle \bar v \rangle p) + \nabla \cdot \bar q + \bar \bar \tau : \bar \bar \epsilon + p \epsilon = 0 </math>

In termini macroscopici: