Forma modulare: differenze tra le versioni

Versione delle 02:14, 29 ago 2013

Versione delle 11:39, 13 ott 2013

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Una '''forma modulare di peso''' ''k'' per il [[gruppo (matematica)|gruppo]]

:<math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z}) = \left \{ \left ( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right ), a, b, c, d \in \mathbb Z, ad-bc = 1 \right \}</math>

è una funzione ''f'' definita sul [[semipiano superiore complesso]] <math>\mathbbmathcal{H} = \{z \in \mathbb{C}, \text{Im}(z) > 0\} </math> a valori nell'insieme dei [[numeri complessi]] che soddisfa tre condizioni:

:(1) è una [[funzione olomorfa]] su <math>\mathbbmathcal{H}</math>;

:(2) per ogni ''z'' in <math>\mathbbmathcal{H}</math> e per ogni [[matrice]] <math>\gamma = \left ( \begin{array}{cc}a & b \\ c & d \end{array} \right )</math> in <math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z})</math> vale

::<math> f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)</math>

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:(3) è ''olomorfa alla cuspide'', cioè ''f'' deve essere olomorfa per <math>z \to i\infty</math> (cioè per <math>\text{Im}(z) \to +\infty</math>). Il termine ''cuspide'' è dovuto agli aspetti geometrici della teoria.

Il peso ''k'' è solitamente un [[numero intero]] e l'insieme delle forme modulari di peso ''k'' rispetto a <math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z})</math> è uno [[spazio vettoriale]] su <math>\mathbb{C}</math> e si indica con <math>\mathcal{M}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z}))</math>.

La seconda condizione, detta anche condizione di ''modularità debole'', può essere riformulata. Siano

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Dall'ultima delle due precedenti equazioni segue che le forme modulari sono [[funzione periodica|funzioni periodiche]] di periodo 1 e ammettono quindi sviluppo in [[serie di Fourier]]. Da questo segue che per ''k'' dispari solo la funzione costantemente nulla soddisfa la seconda condizione.

A volte, invece di <math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z})</math>, si considera il [[Gruppo modulare Gamma|gruppo modulare]], cioè <math>\text{PSL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z})</math>, poiché così l'azione su <math>\mathbbmathcal{H}</math> è [[Azione di gruppo#Definizioni ulteriori|fedele]].

== Sviluppo in serie di Fourier ==

Dalla condizione di periodicità delle forme modulari, segue che per ogni forma modulare ''f'' esiste uno sviluppo in [[serie di Fourier]]

:<math>f(z)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n q^n,</math>

dove <math>q=e^{2\pi i z}</math>. I coefficienti <math>a_n</math> sono detti ''coefficienti di Fourier'' di ''f'' e lo sviluppo in serie è detto spesso, in questo contesto, ''q''-''sviluppo in serie'' di ''f''.

== Forme cuspidali ==

Una ''forma cuspidale di peso k'' è una forma modulare ''f'' di peso ''k'' che alle tre precedenti condizioni aggiunge quella ulteriore di "annullarsi alla cuspide", cioè

:(4) <math>a_0=0</math>

dove <math>a_0</math> è il primo coefficiente del ''q''-sviluppo di ''f''. L'insieme delle forme cuspidali è un <math>\mathbb{C}</math>-sottospazio vettoriale dello spazio delle forme modulari <math>\mathcal{M}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z}))</math> e si indica con <math>\mathcal{S}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z}))</math>.

== Condizioni di crescita ==

La condizione (3) della definizione di forma modulare è equivalente alla seguente condizione di crescita sui coefficienti <math>a_n</math> del ''q''-sviluppo di una funzione ''f'' definita sul [[semipiano superiore complesso]] a valori nei [[numeri complessi]] che soddisfa le precedenti condizioni (1) e (2)

:(3') esistono due costanti positive ''C'' e ''b'' tali che <math>|a_n|<Cn^b</math> per ogni <math>n>0</math>.

Questa condizione risulta fondamentale per generalizzare il concetto di forma cuspidale al contesto delle [[forme automorfe]].

== Formule della dimensione ==

Utilizzando la teoria delle [[superficie di Riemann|superfici di Riemann]] e il [[teorema di Riemann-Roch]] è possibile calcolare la [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] degli [[spazi vettoriali]] delle forme modulari e cuspidali di peso ''k''. Dato ''k'' intero, si ha

:<math>\dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{S}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z})))=\begin{cases}

0 & \text{se } k \text{ dispari} \text{ oppure } k<4 \\

\lfloor \frac{k}{12}\rfloor -1 & \text{se }k\geq 4 \text{ e }k\equiv 2 \mod 12 \\

\lfloor \frac{k}{12}\rfloor & \text{altrimenti},

\end{cases}</math>

:<math>\dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{M}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z})))=\begin{cases}

0 & \text{se } k \text{ dispari} \text{ oppure } k<4 \\

\dim_{\mathbb{C}}(\mathcal{S}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z})))+1 & \text{altrimenti},

\end{cases}</math>

dove <math>\lfloor\cdot\rfloor</math> è la funzione [[parte intera]].

== La L-serie e il legame con le curve ellittiche ==