Forma modulare: differenze tra le versioni

Versione delle 11:39, 13 ott 2013

Versione delle 11:42, 13 ott 2013

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A volte, invece di <math>\text{SL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z})</math>, si considera il [[Gruppo modulare Gamma|gruppo modulare]], cioè <math>\text{PSL}_2 ( \mathbf \mathbb{Z})</math>, poiché così l'azione su <math>\mathcal{H}</math> è [[Azione di gruppo#Definizioni ulteriori|fedele]].

=== Sviluppo in serie di Fourier ===

Dalla condizione di periodicità delle forme modulari, segue che per ogni forma modulare ''f'' esiste uno sviluppo in [[serie di Fourier]]

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dove <math>q=e^{2\pi i z}</math>. I coefficienti <math>a_n</math> sono detti ''coefficienti di Fourier'' di ''f'' e lo sviluppo in serie è detto spesso, in questo contesto, ''q''-''sviluppo in serie'' di ''f''.

=== Forme cuspidali ===

Una '''forma cuspidale di peso''' ''k'' è una forma modulare ''f'' di peso ''k'' che alle tre precedenti condizioni aggiunge quella ulteriore di "annullarsi alla cuspide", cioè

:(4) <math>a_0=0</math>

dove <math>a_0</math> è il primo coefficiente del ''q''-sviluppo di ''f''. L'insieme delle forme cuspidali è un <math>\mathbb{C}</math>-sottospazio vettoriale dello spazio delle forme modulari <math>\mathcal{M}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z}))</math> e si indica con <math>\mathcal{S}_k (\text{SL}_2( \mathbf \mathbb{Z}))</math>.

=== Condizioni di crescita ===

La condizione (3) della definizione di forma modulare è equivalente alla seguente condizione di crescita sui coefficienti <math>a_n</math> del ''q''-sviluppo di una funzione ''f'' definita sul [[semipiano superiore complesso]] a valori nei [[numeri complessi]] che soddisfa le precedenti condizioni (1) e (2)

:(3') esistono due costanti positive ''C'' e ''b'' tali che <math>|a_n|<Cn^b</math> per ogni <math>n>0</math>.

Questa condizione risulta fondamentale per generalizzare il concetto di forma cuspidale al contesto delle [[forme automorfe]].

=== Formule della dimensione ===

Utilizzando la teoria delle [[superficie di Riemann|superfici di Riemann]] e il [[teorema di Riemann-Roch]] è possibile calcolare la [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] degli [[spazi vettoriali]] delle forme modulari e cuspidali di peso ''k''. Dato ''k'' intero, si ha