Processo di Poisson: differenze tra le versioni

Versione delle 17:10, 2 gen 2007

Versione delle 01:29, 6 gen 2007

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[[Image:Sampleprocess.png|266px|right|Sample Poisson Process ''X''_''t'';]]

Un processo di Poisson ''omogeneo'' è caratterizzato da un parametro di frequenza &lambda;, detto '''intensità''', tale che il numero di eventi in un itervallo di tempo <math>(t,t+ \tau]</math> seguono una [[distribuzione di Poisson]] con il parametro associato <math>\lambda\tau</math>. Questa relazione è data come

:<math> P [(N(t+ \tau) - N(t)) = k] = \frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots,</math>

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Così come una variabile casuale di Poisson è caratterizzata dal suo parametro scalare &lambda;, un processo di Poisson omogeneo è caratterizzato dal suo parametro di frequenza &lambda;, che corrisponde con il [[valore atteso]] del numero di "eventi" che si manifestano per unità di tempo.

<!--

''N''(''t'') è un processo di Poisson omogeneo, da non confondere con una densità o una funzione di distribuzione.

-->

'''Nel dettaglio:'''

Avendo assunto che &lambda; sia costante possiamo ritenere

<math> P [(N(t+ \tau) - N(t)) = k] = P[N(T) = k]</math>

con <math>T = (t,t+ \tau]</math>, in quanto tale probabilità non dipende più dagli istanti iniziale e finale ma solo dalla durata dell'intervallo.

Possiamo inoltre suddividere ''T'' in ''n'' intervallini di ampiezza ''&delta;'' tale che <math>T = n\delta</math> e sufficientemente piccoli tale che

<math>P [N(\delta) = 1] = p</math>

<math>P [N(\delta) = 0] = 1- p</math>

<math>P [N(\delta) > 1]</math> &asymp; 0

Per ogni singolo intervallino abbiamo quindi una [[Variabile casuale bernoulliana|distribuzione di probabilità di Bernoulli]] il cui [[valore atteso|valore medio]] risulta ''p''. Il numero medio di eventi per un intervallo di durata ''T'' risulta quindi:

<math>\lambda T = np</math>

Assumiamo infine che il numero di eventi per ogni intervallino non dipenda da ciò che avviene negli altri intervalli.

Abbiamo in pratica modellato il processo contatore come un [[variabile casuale binomiale|estrazione semplice]], per cui la probabilità che si verifichino ''k'' eventi in un intervallo ''T'' equivale alla probabilità che ''k'' intervallini su ''n'' contengano un evento e <math>(n-k)</math> non ne contengano affatto:

<math>P [N(T) = k] = {n \choose k} p^{k}(1-p)^{n-k}</math>

sostituendo quindi ''p'' con <math>\lambda T/n</math> e calcolando il limite per ''n'' → ∞, ovvero per ''&delta;''→ 0, attraverso alcuni passaggi che omettiamo per brevità si arriva alla formula finale:

<math> P [(N(T) = k] = \frac{e^{-\lambda T} (\lambda T)^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots,</math>

===Processo di Poisson non omogeneo===