Quadrivettore: differenze tra le versioni

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Nello [[Spazio campionario|spazio deglidi eventiMinkowski]], un '''quadrivettore''' (o ''tetravettore'') è una quadrupla di valori <math>\mathbf [{A}^{0},{A}^{1},{A}^{2},{A}^{3}]</math>., che nelle trasformazioni di coordinate tra due [[riferimento inerziale|riferimenti inerziali]] rispetta le [[trasformazioni di Lorentz]]. Il componente di indice 0 si dice di natura temporale, quelli rimanenti di natura spaziale.<br>

La metrica dello spazio di Minkowski definisce il modulo quadratico di un quadrivettore come il numero <math>\mathbf {{A}^{0}}^{2}-{{A}^{1}}^{2}-{{A}^{2}}^{2}-{{A}^{3}}^{2}</math>; il modulo di un quadrivettore è per definizione [[Invariante di Lorentz|invariante per trasformazioni di Lorentz]], ovverosia è uno scalare.<br>

tra due [[riferimento inerziale|riferimenti inerziali]] allineati rispettano le [[trasformazioni di Lorentz]]. Il componente di indice 0 si dice di natura temporale, quelli rimanenti di natura spaziale<br>

Il [[raggio vettore]] che congiunge l'origine di un sistema di riferimento ad un evento qualsiasi dello spazio -tempo, è l'esempio più elementare di quadrivettore; le sue componenti sono le coordinate nello spazio-tempo dell'evento in questione, cioè <math>\mathbf [ct,x,y,z]</math>.

Il modulo quadratico di un quadrivettore, definito da:<br>

In genere i quadrivettori sono indicati in modo più economico e conveniente utilizzando la loro generica coordinata <math>\mathbf {A}^{i}</math> o <math>\mathbf {A}^{μ}</math> (esistono due convenzioni opposte secondo cui l'indice latino assume i valori 0,1,2,3 e quello greco solo i valori "spaziali" 1,2,3, oppure viceversa).<br>

<math>\mathbf [{{A}^{0}}^{2}-{{A}^{1}}^{2}-{{A}^{2}}^{2}-{{A}^{3}}^{2}]</math>.<br>

Gli indici in alto indicano che il quadrivettore è espresso nella sua forma controvariante; un quadrivettore controvariante è definito come una quaterna di valori che trasformano, nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale ad un altro, come le coordinate di un evento, cioè secondo le trasformazioni di Lorentz. Contraendo l'indice con uno degli indici del [[tensore metrico]] si ottiene l'espressione covariante del quadrivettore:<br>

mostra che un quadrivettore rispetta una metrica non convenzionale, come quella un comune vettore euclideo di 4 dimensioni.<br>

<math>\mathbf [{{A}^_{ν}≡\sum_{μ=0}}^{23}-{{Aη}^_{1μν}}^{2}-{{A}^{2μ}={η}^_{2μν}-{{A}^{3μ}}^{2}]</math>.<br>

Il [[raggio vettore]] che congiunge l'origine di un sistema di riferimento ad un evento qualsiasi dello spazio tempo, è l'esempio più elementare di quadrivettore.

(nello scrivere l'ultimo termine si è usata la convenzione di Einstein che prevede la somma sugli indici ripetuti; nella somma μ assume i valori da 0 a 3). Un quadrivettore controvariante non trasforma secondo le trasformazioni di Lorentz bensì come la derivata di uno scalare: se φ è invariante per trasformazioni di Lorentz, <math>\mathbf {A}_{μ}</math> ha le stesse leggi di trasformazione di <math>\mathbf ∂φ/∂{x}^{μ}</math>; la particolare forma del tensore metrico in [[relatività ristretta]] fornisce una facile regola per esprimere le componenti controvarianti di un quadrivettore in funzione di quelle covarianti, ovvero <math>\mathbf [{A}^{0},-{A}^{1},-{A}^{2},-{A}^{3}]</math>: nel passare dalla forma controvariante di un vettore alla sua forma covariante basta cambiare di segno le componenti spaziali. Da ciò si ricava una prima regola molto utile nel calcolo (ristretto) tra quadrivettori:<br>

Il modulo dei quadrivettori, si conserva nelle rotazioni dello spazio tempo su sé stesso.<br>

In genere, rispettando la convenzione che l'indice i, percorre i valori 0,1,2,3 un quadrivettore si indica in modo più economico con la notazione contratta: <math>\mathbf {A}^{i}</math>.<br>

Questa notazione caratterizza quella che viene chiamata, espressione [[controvariante]] del quadrivettore.

Oltre a questa, si utilizza un'altra notazione detta [[covariante]] è contraddistinta da <math>\mathbf {A}_{i}</math>, per la quale le componenti del quadrivettore risultano

<math>\mathbf [{A}^{0},-{A}^{1},-{A}^{2},-{A}^{3}]</math>.<br>

Da questa convenzione si ricava una prima regola molto utile nel calcolo (ristretto) tra quadrivettori:<br>

'''Regola dell'abassamento degli indici''':

Abassando gli indici si inverte il segno delle componenti spaziali.<br>

Il prodotto scalare fra quadrivettori (controvarianti) tramite la metrica di Minkowski può così essere scritto in forma semplificata come prodotto scalare euclideo fra un vettore covariante e uno controvariante:<br>

Il consueto prodotto scalare tra vettori, che nel caso dei vettori euclidei fornisce il loro modulo quadratico in rispetto al teorema di pitagora, nel caso dello spazio tempo, viene sostituito dal prodotto contratto, che si definisce come:

<math>\mathbf <A,B>≡\sum_{μ,ν=0}^{3}{A}^{iμ}* {η}_{μν}{B}^{ν}={A}^{μ}{η}_{μν}{B}^{ν}={A}^{μ}{B}_{μ}=\mathbfsum_{μ=0}^{3}{A}^{μ}{B}_{iμ}</math>.

==Genere del quadrivettore==

Diversamente dal caso euclideo, si possono distinguere tre tipi diversi di vettori: