Quadrivettore: differenze tra le versioni

Versione delle 16:31, 7 gen 2007

Versione delle 16:49, 7 gen 2007

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La metrica dello spazio di Minkowski definisce il modulo quadratico di un quadrivettore come il numero <math>\mathbf {{A}^{0}}^{2}-{{A}^{1}}^{2}-{{A}^{2}}^{2}-{{A}^{3}}^{2}</math>; il modulo di un quadrivettore è per definizione [[Invariante di Lorentz|invariante per trasformazioni di Lorentz]], ovverosia è uno scalare.<br>

Il [[raggio vettore]] che congiunge l'origine di un sistema di riferimento ad un evento qualsiasi dello spazio-tempo è l'esempio più elementare di quadrivettore; le sue componenti sono le coordinate nello spazio-tempo dell'evento in questione, cioè <math>\mathbf [ct,x,y,z]</math>.

In genere i quadrivettori sono indicati in modo più economico e conveniente utilizzando la loro generica coordinata <math>\mathbf {A}^{i}</math> o(possono <math>\mathbfessere {A}^{μ}</math>usati indici latini o greci; (esistono due convenzioni opposte secondo cui l'indice latino assume i valori 0,1,2,3 e quello greco solo i valori "spaziali" 1,2,3, oppure viceversa).<br>

Gli indici in alto indicano che il quadrivettore è espresso nella sua forma controvariante; un quadrivettore controvariante è definito come una quaterna di valori che trasformano, nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale ad un altro, come le coordinate di un evento, cioè secondo le trasformazioni di Lorentz. Contraendo l'indice con uno degli indici del [[tensore metrico]] <math>\mathbf g</math> si ottiene l'espressione covariante del quadrivettore:<br>

<math>\mathbf {A}_{νi}≡=\sum_{μj=0}^{3}{ηg}_{μνij}{A}^{μj}={ηg}_{μνij}{A}^{μj}</math><br>

(nello scrivere l'ultimo termine si è usata la convenzione di Einstein che prevede la somma sugli indici ripetuti; nellain questa somma μj assume i valori da 0 a 3). Un quadrivettore controvariante non trasforma secondo le trasformazioni di Lorentz bensì come la derivata di uno scalare: se φ<math>\mathbf s</math> è un invariante per trasformazioni di Lorentz, <math>\mathbf {A}_{μi}</math> ha le stesse leggi di trasformazione di <math>\mathbf ∂φ/∂\frac{ds}{d{x}^{μi}}</math>; la particolare forma del tensore metrico in [[relatività ristretta]] fornisce una facile regola per esprimere le componenti controvarianti di un quadrivettore in funzione di quelle covarianti, ovvero <math>\mathbf [{A}^{0},-{A}^{1},-{A}^{2},-{A}^{3}]</math>: nel passare dalla forma controvariante di un vettore alla sua forma covariante basta cambiare di segno le componenti spaziali. Da ciò si ricava una prima regola molto utile nel calcolo (ristretto) tra quadrivettori:<br>

'''Regola dell'abassamento degli indici''':

Abassando gli indici si inverte il segno delle componenti spaziali.<br>

Il prodotto scalare fra quadrivettori (controvarianti) tramite la metrica di Minkowski può così essere scritto in forma semplificata come prodotto scalare euclideo fra un vettore covariante e uno controvariante:<br>

<math>\mathbf <A,B>≡=\sum_{μi,νj=0}^{3}{A}^{μi}{ηg}_{μνij}{B}^{νj}={A}^{μi}{ηg}_{μνij}{B}^{νj}={A}^{μi}{B}_{μi}=\sum_{μi=0}^{3}{A}^{μi}{B}_{μi}</math>.

==Genere del quadrivettore==

Diversamente dal caso euclideo, si possono distinguere tre tipi diversi di vettori: